Como Resolver Sistemas com Funções do 2º Grau

Resolver sistemas de equações que envolvem funções do 2º grau pode parecer complicado à primeira vista, mas, ao seguir uma sequência lógica e bem estruturada, esse processo se torna muito mais simples e direto. Neste artigo, vamos explorar como resolver esses sistemas de maneira clara e didática, com exemplos práticos e dicas valiosas.

🔹 O que é um Sistema de Equações com Funções do 2º Grau?

Um sistema de equações é formado por duas ou mais equações que compartilham variáveis. No caso das funções do 2º grau, uma das equações é uma função quadrática (do tipo f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c), e a outra pode ser linear ou também quadrática.

Exemplo de sistema:

y=2x2−3x+1(equac¸a˜o quadraˊtica)y = 2x^2 - 3x + 1 \quad \text{(equação quadrática)}y=2x2−3x+1(equac¸​a˜o quadraˊtica) $$y=5x-4\text{(equac¸a˜o linear)}$$

O objetivo é encontrar os valores de $x$ e $y$ que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

🔹 Como Resolver Sistemas com Funções do 2º Grau

Resolver um sistema de equações com funções do 2º grau exige paciência e atenção, mas ao seguir o passo a passo, fica bem mais fácil. Aqui estão os passos:

Passo 1: Substitua uma equação na outra

O primeiro passo é substituir uma das equações na outra para que você consiga reduzir o sistema. No exemplo acima, podemos substituir a equação linear na equação quadrática.

A equação quadrática é:

y=2x2−3x+1y = 2x^2 - 3x + 1y=2x2−3x+1

E a equação linear é:

$$y=5x-4$$

Como ambos os lados das equações são iguais a $y$, podemos igualá-las entre si:

2x2−3x+1=5x−42x^2 - 3x + 1 = 5x - 42x2−3x+1=5x−4

Passo 2: Organize a equação resultante

Agora, vamos reorganizar os termos para formar uma equação quadrática. Subtraímos todos os termos do lado direito da equação:

2x2−3x+1−5x+4=02x^2 - 3x + 1 - 5x + 4 = 02x2−3x+1−5x+4=0

Simplificando:

2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 02x2−8x+5=0

Passo 3: Resolva a equação quadrática

Agora que temos uma equação quadrática simples, podemos resolvê-la utilizando qualquer método de resolução de equações quadráticas (como a fórmula de Bhaskara, fatoração ou completamento de quadrado).

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 02x2−8x+5=0.

A fórmula de Bhaskara é dada por:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

No caso da equação 2x2−8x+5=02x^2 - 8x + 5 = 02x2−8x+5=0, temos $a=2$, $b=-8$ e $c=5$.

Substituindo na fórmula de Bhaskara:

x=−(−8)±(−8)2−4(2)(5)2(2)x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}x=2(2)−(−8)±(−8)2−4(2)(5)​​ x=8±64−404x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{4}x=48±64−40​​ x=8±244x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4}x=48±24​​ x=8±264x = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4}x=48±26​​ x=2±62x = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}x=2±26​​

Portanto, as soluções para $x$ são:

x=2+62oux=2−62x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2} \quad \text{ou} \quad x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}x=2+26​​oux=2−26​​

Passo 4: Encontre o valor de $y$

Agora que encontramos os valores de $x$, podemos substituir essas soluções na equação linear para encontrar os valores correspondentes de $y$.

Vamos substituir x=2+62x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}x=2+26​​ e x=2−62x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}x=2−26​​ na equação $y=5x-4$:

Para x=2+62x = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}x=2+26​​:

y=5(2+62)−4y = 5\left(2 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right) - 4y=5(2+26​​)−4 y=10+562−4y = 10 + \frac{5\sqrt{6}}{2} - 4y=10+256​​−4 y=6+562y = 6 + \frac{5\sqrt{6}}{2}y=6+256​​

Para x=2−62x = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}x=2−26​​:

y=5(2−62)−4y = 5\left(2 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right) - 4y=5(2−26​​)−4 y=10−562−4y = 10 - \frac{5\sqrt{6}}{2} - 4y=10−256​​−4 y=6−562y = 6 - \frac{5\sqrt{6}}{2}y=6−256​​

Soluções Finais:

As soluções do sistema são:

(x,y)=(2+62,6+562)e(2−62,6−562)(x, y) = \left(2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, 6 + \frac{5\sqrt{6}}{2}\right) \quad \text{e} \quad \left(2 - \frac{\sqrt{6}}{2}, 6 - \frac{5\sqrt{6}}{2}\right)(x,y)=(2+26​​,6+256​​)e(2−26​​,6−256​​)

Dicas Importantes para Não Errar:

1. Verifique os sinais ao mover os termos. Sempre que um termo mudar de lado na equação, lembre-se de inverter o sinal.

2. Certifique-se de que está substituindo corretamente. Ao substituir os valores de $x$ na equação linear, verifique se o resultado de $y$ corresponde à equação original.

3. Se o discriminante for negativo, a equação não tem raízes reais. Fique atento ao discriminante b2−4acb^2 - 4acb2−4ac na fórmula de Bhaskara, pois se for negativo, a equação terá raízes complexas.

Exercício para Praticar

Tente resolver o sistema abaixo:

y=x2+3x−4ey=2x+5y = x^2 + 3x - 4 \quad \text{e} \quad y = 2x + 5y=x2+3x−4ey=2x+5

Dica: Comece igualando as duas equações, como mostramos no exemplo, e depois resolva a equação quadrática resultante.

Conclusão

Resolver sistemas de equações envolvendo funções do 2º grau exige um pouco mais de trabalho, mas com os passos certos e prática, você pode resolvê-los com facilidade. Lembre-se de usar a fórmula de Bhaskara quando necessário e sempre verifique suas substituições para garantir que as soluções estão corretas.

Com o tempo, você vai perceber que esses problemas se tornam mais fáceis à medida que você pratica e entende o processo por trás das funções quadráticas.