A fuga da média
Marcos R.
em 13 de Fevereiro de 2019

Hello World!

Olá! Meu nome é Marcos, sou engenheiro mecânico-aeronáutico formado pelo ITA e resolvi escrever alguns textos. Senti uma falta de oferta de blogs científicos e em específico sobre matemática, e por isso me adentrei ao "místico" mundo dos blogueiros. No entanto, não tomo isso como minha profissão. Não quero obter milhares ou milhões de seguidores. Quero apenas escrever o que penso e ensinar do jeito que ensino.
 
Meu objetivo é levar uma matemática mais "mastigada" e que esteja presente no dia a dia. Sei que o estudo de matemática, por anos, ficou apenas na teoria e na abstração, mas prometo que me esforçarei ao máximo para dar uma aplicação útil e real do que eu escrever. Não tenho um cronograma nem um roteiro. Escreverei quando me der vontade e sobre assuntos que acho pertinentes (o que torna tudo bem aleatório e mais divertido)
 
E pensei....o que eu poderia falar no primeiro texto. Essa é uma preocupação inerente a qualquer coisa que se inicia. Lembro um dia quando fui a um Burger King no dia da inauguração. Os funcionários estavam perdidos! Estavam fazendo coisas aleatórias, a fila de clientes só aumentava, as lixeiras lotadas, todas com lixo ao redor. Foi uma péssima primeira impressão. No entanto, um mês depois, o estabelecimento funcionava em pleno vapor. Rápido, sem fila, seguindo procedimentos que eu julguei na hora ser de comum uso nas franquias.
Mesma coisa vale para esses textos. Pode ser que eu nunca consiga atingir meus objetivos ou falar do jeito que quero. Mas com o tempo e após escrever diversas vezes, creio que poderei mostrar que a média dos textos seja aproximadamente o que eu espero. E pensando nisso eu fiquei curioso sobre como uma primeira impressão fora da média pode gerar uma imagem ruim (ou boa). Eu relutei em voltar naquela unidade do BK (mas acabei cedendo, visto que a nova franquia era a mais próxima de onde moro)
 
Para você realmente entender, eu peço que você faça um exercício junto comigo. Por favor, faça. (Se não fizer, acompanhe detalhadamente o que eu fiz. Se não quiser acompanhar, muda de guia e vai pro face. Brinks!). Pegue uma folha de sulfite, em branco, e trace uma linha vertical com a régua, próximo a uma lateral.  Em seguida, tente dividir 10 linhas imaginárias. Pode ser no espaçamento que você quiser. Agora, eu gostaria que você escrevesse 15 traços igualmente espaçados na primeira linha que você imaginou. Isso mesmo, 15 traços equidistantes. Tudo bem se ficar torto ou se os espaçamentos não forem perfeito. Isso é previsto. Vou mostrar o meu como ficou:
 
 
Essa linha tem um comprimento. Você sabe me dizer se é grande ou pequena?
 
Infelizmente não. Uma linha com 15 traços não diz nada a respeito sobre o tamanho da sua linha. Você precisaria fazer isso mais vezes para se ter uma noção se de fato a linha é grande ou pequena. Uma só não tem como saber. É como você avaliar um serviço pela primeira vez que usou.
 
E isso me fez lembrar de outra situação: há quase um ano, eu tive que passar na emergência de um hospital aqui em São José dos Campos (cidade onde moro). Fui à emergência e o atendimento médico foi muito ruim. Eu realmente fiquei muito triste e falei mal desse hospital pra todo mundo. Semana passada eu tive que passar nele novamente por suspeita de braço quebrado. Fui super bem atendido por toda a equipe médica. Eles resolveram com urgência a minha urgência, e ainda me fizeram gentilezas de investigar uma série histórica de quebras e trincas de ossos na minha infância, para verificar se todos eles cicatrizaram (ou sararam) corretamente.
 
 
E pode ser que eu me sinta sempre feliz de passar naquele hospital. Pode ser que a média seja muito elevada e que o primeiro atendimento foi um desvio à média. Situação que não ponderei quando fui atendido inicialmente. Ou o contrário, pode ser que de fato o hospital seja uma merda e que ele é ruim mesmo e, na segunda vez que passei lá, foi a vez que, de fato, fugiu à média. Engraçado isso, né? Enquanto eu não passar lá pela terceira, quarta, quinta....centézima vez naquele hospital, eu nunca saberei o nível exato dele (bom ou ruim). Entende?
 
E o mais engraçado é que isso pode ser expandido para relacionamentos interpessoais, funcionários, serviços de forma geral, músicas, álbuns, computadores, carros, etc. O primeiro contato pode ser bom ou pode ser ruim, mas na real é a média que importa. Deve-se testar algo várias e várias vezes para que se tenha uma visão mais nítida e mais confiável sobre algo ou alguém.
 
Voltando aos traços, escreva agora as outras 9 linhas embaixo da linha já escrita. 15 traços equidistantes.
 
 
Com a construção de outras linhas com 15 traços, fica nítido que a primeira linha foi pequena perto das demais. Ela fugiu um pouco da média. Talvez a sua ficou um pouco maior. Ou talvez ainda a sua primeira linha coincidiu com a média dos tamanhos das linhas. O mais raro é a sua primeira linha ter sido a menor ou a maior de todas, mas pode acontecer. Se aconteceu isso contigo, sinta-se uma pessoa de sorte.
 
Após efetuar esses traços, fiquei curioso e resolvi medir quanto vale cada linha. Com uma régua, medi cada uma das linhas e planilhei os resultados. Give a look:
 
 
Com isso, temos um argumento mais numérico e, é esse nosso objetivo. Mas repare que só esses dados não são suficientes para podermos afirmar o que é uma linha pequena e o que é uma linha grande. Existem várias maneiras de se fazer isso. Usaremos as principais aqui:
 
MÉDIA: A média é a medida de tendência mais usada no mundo, indiscutivelmente. Deseja-se saber a média da altura da população, a média de consumo de combustível, a média da velocidade, etc. A palavra média é quase que sinônimo de tendência. A média é um valor que normalmente chutamos e que temos a chance maior de errar menos (é muito difícil acertar!). Por exemplo, quantas vezes no mês você vai a um fastfood? (Se você nunca vai a um fastfood, faça a mesma pergunta trocando por algo que você frequentemente vai).
 
A resposta pode variar dependendo do mês. Pode ser que tenha mês que você nunca foi e pode ter mês que você foi mais vezes. Mas na média, pode ser que você vá 4 vezes por mês. Isso daria 48 vezes no ano, certo? Mas olha que engraçado...pode ser que nunca, em nenhum mês, você tenha ido 4 vezes a um fastfood. No entanto, a média é o valor que mais se aproxima da quantidade de idas ao fastfood.
 
Matematicamente, a média é definida como sendo a soma do valor de cada evento dividido pelo total de eventos. Em fórmula, escrevemos:
 
 
No exemplo das linhas, a média é a soma de todos os valores (144,8 cm) dividido pelo total de valores (10). Ou seja, a média é 14,48 cm. Repare que nenhuma medida foi 14,48, mas esse é o número que mais se aproxima da tendencia daqueles valores da tabela. Por exemplo, se eu fosse desenhar uma linha com 15 traços agora (depois de já ter feito aquelas 10 linhas), o valor que eu espero é algo não muito distante de 14,48 cm. Se for maior do que esse valor, posso considerar uma linha grande. Se for menor, pequena. Pode ser que seja 20 cm, mas isso seria bem raro. Quase a mesma raridade se fosse 9 cm.
 
Entendeu bem o que é a média? No fundo é um valor "esperado" caso você tivesse que chutar um número.
 
MODA: A moda possui um nome bem autoexplicativo. É o valor que mais aparece. No caso das linhas, se você observar bem, verá que a moda dos valores é 14,9 cm. Isso porque esse valor aparece duas vezes, enquanto os outros aparecem apenas uma vez e, se viajarmos um pouco, há vários outros valores que aparecem 0 vezes (errei o plural, mas eu achei q ficava melhor assim).
 
A moda também dá uma tendência das medidas. Diferentemente da média, seu raciocínio é mais simples. Se o valor 14,9 é o que mais apareceu, então a tendência é que ele seja o valor mais provável de aparecer. O único defeito da média é que, para o seu cálculo, os outros valores não causam muita interferência. Por exemplo, se a décima linha tivesse 12,7 cm (ao invés de 12,8 cm), a moda continuaria sendo 14,9. Agora, se o décimo valor fosse 13,1 cm, teríamos um caso peculiar, pois os valores 14,9 e 13,1 apareceriam duas vezes cada. Com isso, não teríamos uma moda, mas sim duas. A distribuição seria, o que chamamos na matemática, de bimodal. Poderia ser trimodal, quadrimodal, etc.
 
MEDIANA: A mediana é um outro tipo de medida de tendência. Para fazer o seu cálculo deve-se ordenar os números de forma crescente (ou decrescente, tanto faz) e pegar o elemento do meio. Caso se tenha dois elementos centrais, fazemos a média deles. A figura abaixo mostra o ordenamento dos valores dos comprimentos das linhas e o cálculo da mediana:
 
 
Olha que showzera! A mediana coincidiu com a moda (isso nem sempre vai acontecer). 
 
Até aqui legal...eu falei um monte de abobrinha e defini três jeitos diferentes de se pegar uma tendência de dados. Vamos a parte mais top, onde aplicaremos isso. Imagina que temos um ônibus com 40 pessoas na sua cidade. Qual é a melhor jeito de apresentar a tendência dos salários? A média, a moda ou a mediana? Pense um pouco.
 
Vi esse exemplo em um livro muito bacana, clássico americano da década de 50. O livro se chama "como mentir usando estatística". É uma leitura amigável, onde se apresenta casos de propagandas enganosas desde as eleições, notícias sobre salário etc. Vale muito a pena e fica de recomendação de leitura.
 
 
Já pensou? Vamos lá. A princípio não se tem uma resposta certa, mas há uma resposta certa para cada caso. Imagina se Bill Gates estivesse no ônibus. Ele, com certeza, elevaria a média dos salários e poderia ser, por exemplo, que a média fosse 10 000.000,00 por mês. No entanto, esse valor super elevado se deve apenas pelo salário do nosso amigo Bill. Esse número pode não representar uma tendência, e tampouco o salário mais provável de se encontrar. Então, para esse caso, a média perde um pouco sua função.
 
A moda e a mediana pode ser mais interessante para se determinar essa tendência, visto que essas medidas eliminam o efeito de pontos outliers (fora da curva, pontos extremos), mostrando, de fato, a tendência dos salários. Fez sentido o uso dessas medidas?
 
E a diferença entre a moda e a mediana? Essa é mais sutil. Imagine duas situações:
 
1) moda = 1000,00 e mediana = 1.500,00
2) moda = 2000,00 e mediana = 1.500,00
 
Sabemos pela mediana que metade da galera do busão ganha menos de 1500,00 enquanto a outra metade ganha mais do que 1500,00. Ou seja, se fizéssemos uma fila com essa galera, os brothers da posição 20 e 21 teriam a média de salário igual a 1500,00 (pois em 40 pessoas, eles seriam os elementos centrais). Na primeira situação, sentimos que tem muita gente ganhando salário de 1000,00 enquanto na segunda, o salário mais comum é 2000,00. Qualquer outra análise, apenas com esses dados, seria apenas especulação e possibilidades, mas nada exato. 
 
Tirar conclusões sobre estatística requer uma análise mais aprofundada (a qual não faremos nesse texto) sobre como os números estão distribuídos em relação à média.
 
No livro também cita que o IBGE americano (sei lá que órgão seria esse) classificou um bairro pequeno e bem pobre como sendo um bairro nobre devido a um milionário que possuía uma casa naquele bairro. Esse milionário com certeza deve ter elevado a média salarial do bairro e ele deve ter perturbado as estatísticas governamentais. Doidera demais isso!
 
É isso. Até mais.
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São Paulo / SP
Graduação: Engenharia Mecânica-Aeronáutica (ITA - INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA)
Álgebra Matemática para 2ª ano Matemática para Pré-Vestibular Funções Geometria Matemática - Equações Matemática para USP
Engenheiro mecânico-aeronáutico, professor de matemática - ensino fundamental, médio e pré vestibulares.
Oferece aulas online (sala profes)
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Alexandre C.
em 04 de Março de 2019

Parabéns professor, ótimo texto... só podia ser aluno do ITA mesmo....

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