Resolvendo sistemas de maneira muito prática!

Usando matrizes inversas

Olá galera, tudo bem?

Vocês conhecem aqueles sistemas matemáticos entediantes, os quais você precisa gastar um tempão para resolvê-los? E se eu dissese para vocês que há uma maneira rápida e eficaz de solucioná-los? Vamos trabalhar com um exemplo e o seu passo a passo para você aprender como funciona e conseguir resolver qualquer sistema de hoje em diante.

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Exemplo: Resolva o sistema descrito.

$\begin{cases} 7x+5y=-4 \\ -6x+3y=-33 \end{cases}$

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Bom, existe uma fórmula (1) muito simples dentro da álgebra linear que pode ser usada para a resolução de qualquer sistema, vejamos:

$\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$

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Mas, o que essa fórmula quer nos dizer? Ela nos diz que o vetor x, neste caso os valores de x e y, podem ser encontrados ao multiplicarmos a matriz inversa do sistema pelo vetor b, que neste caso é os valores -4 e -33. Vamos ver o passo a passo. Primeiro, precisamos encontrar o determinante ( ${\left | A \right |}$ )de A:

${\left | A \right |} = \left( \begin{array}{cc} 7 & 5 \\ -6 & 3 \end{array} \right)$

Fazemos isso, multiplicando 7 por 3 e subtraímos o resultado pelo multiplicação de 5 por -6, assim:

${\left | A \right |} = 7.3-5(-6)=41$ ( O resultado aqui é 51 e não 41)

Agora precisamos encontrar a matriz inversa de A, usando a seguinte expressão (2):

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$

Sabemos que o valor de a=7, b=5, c=-6 e d=3 e que ${\left | A \right |}$ é o determinante de A, assim:

$A^{-1} = \frac{1}{41} \left( \begin{array}{cc} 3 & -5 \\ 6 & 7 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{17} & \frac{-5}{51} \\ \frac{2}{17} & \frac{7}{51} \end{array} \right)$ (A divisão é por 51 e não por 41)

Agora, só precisamos jogar essas informações na nossa fórmula (1), multuplicar as duas matrizes e acharemos o valor de x e y:

$\vec{x} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{17} & \frac{-5}{51} \\ \frac{2}{17} & \frac{7}{51} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -4 \\ -33 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 \\ -5 \end{array} \right)$

Logo,

$x=3$ e $y=-5$ .

Parece um pouco trabalhoso no começo, mas na realidade, é uma maneira muito rápida e sem erros de encontrar qualquer sistema. Se tivéssemos um sistema com variáveis x, y e z, o processo seria o mesmo, mas ao invés de uma matriz 2x2, teríamos uma matriz 3x3.

Espero que tenham gostado! Até uma próxima.