Resolvendo equações de 1º grau

1) Introdução

Antes de tudo precisamos entender como identificar uma equação de primeiro grau. Uma equação de primeiro grau é uma equação do tipo ax + b = 0, onde "a" e "b" são números reais, com "a" não podendo ser 0. Veja alguns exemplos:

• 3x + 2 = 0, nesse caso, a = 3 e b = 2.
• 8x + 1 = 0, nesse caso, a = 8 e b = 1.
• , nesse caso, a = e b = 4.

É importante perceber também quando uma equação não é do primeiro grau. Veja alguns exemplos que não podem ser considerados equações de primeiro grau:

• x² - 4 = 0, pois o expoente de "x" não é 1.
• x.cos (x) + 9 = 0, pois o cos x é uma função trigonométrica que depende de x. Perceba que x.cos 35º + 9 = 0 é uma equação de primeiro grau.
• log (x + 2) = 0, pois os termos de primeiro grau estão dentro da função logarítmica.

Com isso, podemos agora resolver as equações de primeiro grau.

2) Resolvendo equações de primeiro grau

Uma vez identificado que a equação é de primeiro grau, ou seja, da forma: ax + b = 0. Basta fazer as segunites operações:

(1) Deixar números de um lado da equação e variáveis do outro lado, ou seja: ax + b = 0, então: ax = -b.

(2) Se o número que estiver multiplicando o "x" não for 1, passe ele dividindo para o outro lado da equação, ou seja: ax = -b, então x = -(b/a).

Assim, resolvemos uma equação de primeiro grau. Veja alguns exemplos:

a) 3x - 6 = 0 --> 3x = 6 --> x = (6/3) = 2. Logo, x = 2 é a solução dessa equação.

b) 6x - 8 = 0 --> 6x = 8 --> x = (8/6) = (4/3). Logo, x = (4/3) é a solução dessa equação.

c) 3x + 8 = 5x + 2. Começaremos deixando todas as variáveis de um lado da equação e todos os números do outro lado, logo: 5x - 3x = 8 - 2 --> 2x = 6 --> x = (6/2) = 3. Logo, x = 2 é a solução dessa equação.

d) (x²-16)/(x+4) = 4x - 10. Essa equação aparentemente não é uma equação de primeiro grau, porém, lembrando a ideia de produtos notáveis, temos que: a² - b² = (a-b)(a+b). Logo: x²-16 = x² - 4² = (x-4)(x+4). Assim, (x²-16)/(x+4) = [(x-4)(x+4)]/(x+4) = x-4 --> x-4 = 4x - 10 --> 4x - x = 10 - 4 --> 3x = 6 --> x = (6/3) = 2.

e) (x³ - 8)/(x-2) = x² - 3x + 9. Lembrando dos produtos notáveis: x³ - 2³ = (x-2)(x² + 2x + 4). Logo: (x³-8)/(x-2) = [(x-2)(x²+2x+4)]/(x-2) = x²+2x+4. Desse modo: x² + 2x + 4 = x² - 3x + 9 --> (x² + 2x) - (x² - 3x) = 9 - 4 --> 2x + 3x = 5 --> 5x = 5 --> x = (5/5) = 1.

f) (x² - 49)/(x+7) = -14.

1) Lembrando que: x² - 49 = x² - 7², temos: (x² - 49)/(x+7) = [(x-7)(x+7)]/(x+7) = x-7. Logo: x-7 = -14 --> x = -7.

2) Aparentemente, nesse caso, a solução é -7. Contudo, é importante lembrar que nem sempre a solução da equação de primeiro grau é a solução do problema, visto que, é importante respeitar as regras implícitas para a existência do problema.

Como assim? Perceba que o problema inicial era: (x² - 49)/(x+7) = -14, em vez de: x-7 = -14. No primeiro caso, a existência de uma divisão deixa implícito que o denominador não pode ser 0, ou seja, (x+7) não pode ser 0, assim, x não pode valer -7, pois o denominador ficaria 0 e a divisão por 0 é indefinida. Diferentemente da equação: x-7 = - 14. Por não ter uma divisão com variárel no denominador, não precisamos nos preocupar em ele ser 0. Nesse caso, x = -7 é uma resposta válida, porém, no problema inicial, x = -7 não é solução.

Em resumo: não há solução nesse caso.

g) (x² - 25)/(x - 5) = x + 2. Lembrando que x²-25 = x² - 5² = (x-5)(x+5), então: (x² - 25)/(x-5) = [(x-5)(x+5)]/(x-5) = x+5 = x + 2 --> 0 = x - x = 2 - 5 --> 0 = -3. Isso é uma contradição matemática. Nesse caso, não existe solução, pois, não importa qual seja o valor de x, 0 nunca pode ser igual a-3.

h) (x² - 81)/(x-9) = x+9. Lembrando que x²-81 = x² - 9² = (x-9)(x+9), então: (x² - 81)/(x-9) = [(x-9)(x+9)]/(x-9) = x+9. Logo: (x² - 81)/(x-9) = x+9 --> x+9 = x+9. Peceba que, nesse caso, essa equação tem infinitas soluções. Isso porque ela é uma identidade matemática, ou seja, não importa qual seja o valor de x: (x²-81)/(x-9) vai sempre ser igual a x+9. É importante lembrar também que o denominador da fração não pode ser 0, ou seja, x-9 não pode ser 0, assim, x não pode ser 9. Por isso, nesse caso, existem infinitas soluções, mas x = 9 não é solução desse problema.

3) Conclusão

É isso. Acredito ter abordado os principais casos de equações de primeiro grau, levando em consideração que os problemas relacionados a equações de primeiro grau nem sempre parecem equações de primeiro grau. Por isso, é bom ver se é possível simplificar o problema sempre que possível e tomar cuidado com as condições de existência do problema. Fiquem atentos. Esse é um assunto fundamental não apenas para provas, mas também para a vida. Procurei abordar o assunto de forma mais abstrata, mas existem inúmeras aplicações de problemas que recaem em equações de primeiro grau.

Agradeço pela atenção e pela leitura. Espero que tenha entendido e aprendido algo novo.