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Por: David C.
20 de Julho de 2020

Resolvendo uma equação diferencial

Usando 3 métodos diferentes

Cálculo Equações diferenciais de segunda ordem

Resolver a seguinte equação diferencial:

$x'' + 2x' +5x = 0$

onde x = x(t), sujeita as condições iniciais: x(0)=1, x'(0)=-1.

Solução.

Usaremos 3 diferentes métodos para resolver a equação diferencial de segunda ordem dada.

Método 1: Equação característica.

Para resolver a equação diferencial (homogênea e com coeficientes constantes) devemos obter a equação característica associada à mesma:

$m^2 +2m+5 =0$

Como a equação característica é uma equação do segundo grau, ela possui exatamente duas raízes, neste caso raízes complexas conjugadas:

$\Delta = (2)^2 - 4(1)(5)=4-20=-16<0$

$m= \frac{-2\pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm 2i$

Então as duas autofunções (autovetores) associadas são:

$\{e^{-1t}\cos (2t),\, e^{-1t}\sin (2t) \} = \{e^{-t}\cos (2t),\, e^{-t}\sin (2t) \}$

Logo, a solução geral é dada por

$x(t) = C_1 e^{-t} \cos (2t) + C_2 e^{-t}\sin (2t)$

Derivando obtemos:

$x'(t) = (2C_2 -C_1) e^{-t} \cos (2t) - (2C_1+C_2) e^{-t}\sin(2t)$

Usando as condições iniciais: x(0)=1, x'(0)=-1.

$1 = x(0) = C_1 e^0 \cos(0) + C_2 e^0 \sin (0)=C_1 \Longrightarrow C_1 = 1$

$-1 = x'(0) = (2C_2 - 1) e^0 \cos (0) - (2+C_2)e^0 \sin (0) = 2C_2 -1 \Longrightarrow C_2 =0$

Portanto a solução do problema com valores iniciais é:

$x(t) = e^{-t} \cos (2t)$

Método 2: Transformada de Laplace.

Aplicamos a transformada de Laplace na equação diferencial com valores iniciais:

$\mathcal{L}\lbrace x'' + 2x' +5x \rbrace = \mathcal{L}\lbrace 0 \rbrace$

Considere

$\mathcal{L}\{ x(t) \} = X(s)$

Então:

$\mathcal{L}\{x''\} +2\mathcal{L}\{x'\} + 5\mathcal{L}\{x\} = 0$

$\left\(s^2 X(s) -s +1 \right) + 2\left\(sX(s) -1 \right) +5 X(s) = 0$

$\left(s^2 +2s+5\right)X(s) -s-1=0$

$\left((s^2 +2s+1) + 4 \right)X(s)= s+1$

$\left((s+1)^2 + 2^2 \right)X(s)= s+1$

$X(s) =\dfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2}$

Aplicamos a transformada inversa de Laplace:

$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \{X(s)\} = \mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \dfrac{s+1}{(s+1)^2+2^2} \Big\rbrace$

Usando a primeira traslação:

$x(t) = e^{-t}\mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \dfrac{s}{s^2+2^2} \Big\rbrace$

$x(t) = e^{-t} \cos (2t)$

Método 3: Redução de ordem.

Considere

$y(t) = x'(t)$

derivando:

$y'(t) = x''(t)$

Substituindo na equação diferencial dada:

$x''(t) + 2x'(t) + 5x(t) = 0$

$y'(t) + 2y(t) + 5x(t) = 0$

$y'(t) = -5x(t) -2y(t)$

Considere o seguinte sistema:

$\Big\lbrace \begin{matrix} x'(t) = 0 x(t) + 1 y(t) \\ \, y'(t) = -5x(t) -2y(t) \end{matrix} \Longrightarrow \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$

Seja o vetor solução:

$X(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$

Derivando:

$X'(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} X(t)$

Seja a matriz de coeficientes:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$

Calculamos os autovalores da matriz A:

$0 = \det (A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -5 & -2 - \lambda \end{vmatrix}$

$0=\lambda^2 +2\lambda +5 \Longrightarrow \lambda = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(5)}}{2} = \dfrac{-2\pm 4i}{2} = -1\pm 2i$

Temos autovalores complexos conjugados, então calculamos o autovetor associado:

$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}, \lambda = -1 + 2i$

satisfazendo:

$\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -5 & -2 - \lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 -2i & 1 \\ -5 & -1 -2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Logo

$(1-2i)v_1 + v_2 =0 \, (v_1 = 1) \, \Longrightarrow v_2 = -1 +2i$

$v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 +2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Logo a solução do problema con valores iniciais é dada por:

$X(t) = e^{-t} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(2t) & \sin (2t) \\ -\sin (2t) & \cos (2t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}$

$X(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos(2t) & \sin (2t) \\ -\cos (2t) -2\sin (2t) & -\sin (2t) +2\cos(2t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}$

$X(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} C_1 \cos(2t) + C_2 \sin (2t) \\ (2C_2 -C_1) \cos (2t) - (2C_1+C_2) \sin (2t) \end{pmatrix}$

Usando as condições iniciais:
$X(0)= \begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
Para calcular os coecifientes C1 e C2, resolvemos o seguinte sistema linear:

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}$

Obtendo:

$C_1 = 1; \, C_2 =0$

Substituindo:

$X(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ x'(t) \end{pmatrix} = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos (2t) \\ -\cos (2t) -2\sin (2t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-t} \cos (2t) \\ -e^{-t}\cos (2t) -2e^{-t}\sin (2t) \end{pmatrix}$