Comprimento de uma curva - Integrais

Determine o comprimento da curva da seguinte função no intervalo de [1,3]:

O comprimento da curva de uma função é:

Logo, a função ficará:

Para realizar essa integral, basta utilizar a substituição trigonométrica:

Dividindo ambos os membros por , tem-se:

Substituindo,

Logo a integral ficará:

Lembrando da relação trigonométrica realizada anteriormente, simplifica-se:

Agora, para realizar o cálculo dessa integral é necessário realizar uma integração por partes, então:

Substituindo a relação trigonométrica da tangente ao quadrado...

Agora, faz-se necessário calcular a integral da secante. Logo, para realizar essa integral é importante realizar uma manipulação matemática para facilitar o cálculo:

Realizando outra substituição:

Substituindo na função

Após esse processo, fica-se:

Realzando a substituição em função de theta.

Retomando para as variáveis iniciais

Note que esse 3/1 é apenas para esboçar e que os limites de integração é de 1 até 3, conforme dado no enunciado.

Substituindo os limites de integração:

Por fim, a resposta é: