Determine o comprimento da curva da seguinte função no intervalo de [1,3]:
O comprimento da curva de uma função é:
Logo, a função ficará:
Para realizar essa integral, basta utilizar a substituição trigonométrica:
Dividindo ambos os membros por , tem-se:
Substituindo,
Logo a integral ficará:
Lembrando da relação trigonométrica realizada anteriormente, simplifica-se:
Agora, para realizar o cálculo dessa integral é necessário realizar uma integração por partes, então:
Substituindo a relação trigonométrica da tangente ao quadrado...
Agora, faz-se necessário calcular a integral da secante. Logo, para realizar essa integral é importante realizar uma manipulação matemática para facilitar o cálculo:
Realizando outra substituição:
Substituindo na função
Após esse processo, fica-se:
Realzando a substituição em função de theta.
Retomando para as variáveis iniciais
Note que esse 3/1 é apenas para esboçar e que os limites de integração é de 1 até 3, conforme dado no enunciado.
Substituindo os limites de integração:
Por fim, a resposta é:
