Máximos e mínimos de funções

Pontos de máximos e mínimos são os pontos de picos e depressões de uma função. Para se encontrar os pontos de máximos e mínimos basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. Porém, nem sempre é fácil construir o gráfico da função por isso utilizamos as derivadas. O uso das derivadas permiete-nos encontrar os pontos criíticos de uma função.

Pontos críticos são pontos de inflexão da função, são os potenciais pontos para máximos ou mínimos da função. Para que um ponto seja crítico é necessário que: o ponto faça parte do domínio da função, a função seja derivável no ponto e o valor da derivada no ponto seja igual a zero.

Para saber-se se um ponto extremo de uma função é de máximo ou mínimo é feito o estudo do sinal da derivada da função no ponto.

1. Se a derivada da função é positiva à esquerda do ponto e negativa à direita do ponto é um ponto de máximo da função.

2. Se a derivada da função é negativa à esquerda do ponto e positiva à direita do ponto é um ponto de mínimo da função.

Exemplo de aplicado:

Um aparelho usa um circuito alimentado por duas correntes elétricas, que são externamente controladas. A potência consumida pelo aparelho é calculada pela expressão:

As correntes serão ajustadas para que o consumo (potência dissipada) seja o menor possível. Após determinar os valores dessas correntes, calcule o valor dessa potência mínima.

Este é o caso de se encontrar um mínimo de função. O primeiro passo é encontrar o valor das derivadas parciais de , em relação a cada uma das correntes. Desenvolvendo-se a função têm-se:

As derivadas parciais são então:

O figura abaixo mostra o gráfico da função . O ponto de mínimo desta função é o ponto em que a derivada de ambas as derivadas é igual a zero:

Resolvendo o sistema de equações temos:

Multiplicando a segunda equação por -2:

Ao subistituir-se os valores calculados de e na função obtemos, finalmente, o valor da potência mínima: