Séries de Taylor
Luisa S.
em 06 de Maio de 2021
Muitas funções têm suas expressões escritas como um "polinômio infinito", isto é, uma soma infinita de termos do tipo . 
Portanto, uma série (de funções)
na forma é chamada série de potência (em torno de ), onde é chamado coeficiente da série. Ademais, o
desenvolvimento
de funções em séries de potências é aplicado para diversas finalidades, sendo uma delas a resolução de equações diferenciais. A seguir é
apresentada uma descrição
baseada em Guidorizzi (2001).
Suponha que a função f tem derivadas de todas as ordens e que possa ser representada por uma série de potências, com raio de convergência R, conforme 
representado
na Eq. abaixo:




Calculando as derivadas da função f(x) e fazendo em , tem-se:




Logo, se f(x) tem expansão em série de potências centradas em , então ela deve ser da forma:



A série da equação é chamada série de Taylor da função f(x) centrada em .


Como consequência, é possível realizar a aproximação das derivadas usando a expansão de Taylor para funções de uma variável. 
Essa aproximação pode ser feita de três formas:
  • Avançada;
  • Atrasada;
  • Centrada.
Realizando a expansão de Taylor para f(x) em torno do ponto , e considerando , o que implica em , tem-se:




Tomando como base a Eq. e colocando em evidência, obtem-se:

Logo,
é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças avançadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:


Agora, tomando como base a Eq.  e colocando  em evidência, obtem-se:




Logo,



é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças atrasadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:


Por fim, tomando como base as Eqs.  e , tem-se:




Colocando  em evidência, obtem-se:




Logo,
é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças centradas com erro de truncamento de ordem , dado por:



 
 





 
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