Séries de Taylor

Muitas funções têm suas expressões escritas como um "polinômio infinito", isto é, uma soma infinita de termos do tipo . 
Portanto, uma série (de funções) na forma  é chamada série de potência (em torno de ), onde  é chamado coeficiente da série. Ademais, o 
desenvolvimento de funções em séries de potências é aplicado para diversas finalidades, sendo uma delas a resolução de equações diferenciais. A seguir é 
apresentada uma descrição baseada em Guidorizzi (2001).

Suponha que a função f tem derivadas de todas as ordens e que possa ser representada por uma série de potências, com raio de convergência R, conforme 
representado na Eq. abaixo:




Calculando as derivadas da função f(x) e fazendo  em , tem-se:

Logo, se f(x) tem expansão em série de potências centradas em , então ela deve ser da forma:

A série da equação é chamada série de Taylor da função f(x) centrada em .

Como consequência, é possível realizar a aproximação das derivadas usando a expansão de Taylor para funções de uma variável. 
Essa aproximação pode ser feita de três formas:

• Avançada;
• Atrasada;
• Centrada.

Realizando a expansão de Taylor para f(x) em torno do ponto , e considerando , o que implica em , tem-se:




  Tomando como base a Eq.  e colocando  em evidência, obtem-se:

Logo,

é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças avançadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:

Agora, tomando como base a Eq.  e colocando  em evidência, obtem-se:

Logo,

é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças atrasadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:

Por fim, tomando como base as Eqs.  e , tem-se:

Colocando  em evidência, obtem-se:

Logo,

é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças centradas com erro de truncamento de ordem , dado por: