Séries de Taylor
Por: Luisa S.
06 de Maio de 2021

Séries de Taylor

Matemática Séries de Taylor Ensino Superior Cálculo Álgebra Ensino Médio
Muitas funções têm suas expressões escritas como um "polinômio infinito", isto é, uma soma infinita de termos do tipo . 
Portanto, uma série (de funções)
na forma é chamada série de potência (em torno de ), onde é chamado coeficiente da série. Ademais, o
desenvolvimento
de funções em séries de potências é aplicado para diversas finalidades, sendo uma delas a resolução de equações diferenciais. A seguir é
apresentada uma descrição
baseada em Guidorizzi (2001).
Suponha que a função f tem derivadas de todas as ordens e que possa ser representada por uma série de potências, com raio de convergência R, conforme 
representado
na Eq. abaixo:




Calculando as derivadas da função f(x) e fazendo em , tem-se:




Logo, se f(x) tem expansão em série de potências centradas em , então ela deve ser da forma:



A série da equação é chamada série de Taylor da função f(x) centrada em .


Como consequência, é possível realizar a aproximação das derivadas usando a expansão de Taylor para funções de uma variável. 
Essa aproximação pode ser feita de três formas:
  • Avançada;
  • Atrasada;
  • Centrada.
Realizando a expansão de Taylor para f(x) em torno do ponto , e considerando , o que implica em , tem-se:




Tomando como base a Eq. e colocando em evidência, obtem-se:

Logo,
é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças avançadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:


Agora, tomando como base a Eq.  e colocando  em evidência, obtem-se:




Logo,



é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças atrasadas com erro de truncamento de ordem h, dado por:


Por fim, tomando como base as Eqs.  e , tem-se:




Colocando  em evidência, obtem-se:




Logo,
é uma aproximação para a derivada de primeira ordem de f(x) em  por diferenças centradas com erro de truncamento de ordem , dado por:



 
 





 
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