Cenas do último episódio

No meu último post, expliquei como funcionam as bases 2 e 10. Se você ainda não leu, vou dar um tempo para você ler.

Convertendo de base 2 para base 10

Como eu sou um excelente professor, você já sabe converter de base 2 para base 10! (Assumindo que você fez os exercícios :P)

Você não percebeu? Mas você já sabe! Vamos revisar o exemplo que estava no post anterior.

O que o número 101010_b (o "bezinho" significa que o número está em binário) representa em base 10? Nós já fizemos, lembra?

101010 = (1 × 2⁵) + (0 × 2⁴) + (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (0 × 2⁰)

Ou seja, a partir da direita, nós fazemos a primeira potência de 2, no caso, 2⁰ multiplicada pelo coeficiente, que é o dígito mais a direita, no caso 0; depois nos fazemos 2¹, a segunda potência, vezes o segundo dígito da esquerda para direita, que é 1, und so weiter (meus conhecimentos de alemão vêm de aulas de matemática e, aparentemente, und so weiter quer dizer "assim por diante"). Depois disso, nós somamos tudo e bang!, temos 42, que é o que 101010_b representa em binário!

Vamos fazer outro número, o 101_b:

101 = (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰) $ = 4 + 0 + 1 = 5$

Logo, 101_b = 5₁₀.

Fácil, certo? Tudo vem do fato que a representação é conveniente para fazer contas. E você ainda pode ignorar todos as potências multiplicadas por 0 :)

Convertendo de base 10 para base 2

O inverso já não é tão facil, mas ainda assim é bem simples!

Vamos pensar: se nós usamos multiplicação para ir da base 2 para base 10, o que nós precisamos para fazer o inverso? Hum, inverso... inverso da multiplicação... Isso! Divisão! Nós vamos dividir!

Não só, queremos também ir da base 10 para a base 2, então vamos dividir os números em base 10 por... 2! Várias vezes!

Ou seja, o processo é o seguinte: pegamos o número em base 10 e dividimos ele por 2, do jeito que fazíamos na segunda série. Por exemplo, se o número for 5, 5 ÷ 2 é igual a 2 e sobra 1. Vamos deixar esse 1 que sobrou guardado na nossa "lista": {1}. Depois, dividimos o resultado da primeira divisão por 2 de novo: pegamos o 2 e dividimos por 2: 2 ÷ 2 é 1 e sobra 0. Colocamos o nosso segundo 1 de resto na nossa lista, {1, 0}. Depois fazemos isso de novo: pegamos o resultado anterior, que era 1, e dividimos por 2: 1 ÷ 2 tem resultado 0 e sobra 1. Colocamos esse 1 na nossa lista, que agora tem {1, 0, 1} e paramos, pois chegamos a um resultado 0. Para termos o número 5 em binário, basta olharmos os elementos da lista, os restos, mas ao contrário, 5₁₀ = 101_b! (O exemplo foi meio infeliz, dado que a lista é igual ao contrário XD).

A imagem a seguir vai ilustrar o processo:

Façamos a conversão de 42 para binário:

• Passo 1) Dividimos 42 por 2: resultado é 21 e o resto é igual a 0. Colocamos 0 na nossa lista {0}.

• Passo 2) Dividimos o resultado do passo 1 por 2: 21 ÷ 2 dá 10 e sobra 1. Colocamos 1 na nossa lista, que passa a ter {0, 1}.

• Passo 3) Dividimos o resultado de passo 2 por 2: 10 ÷ 2. O resultado é 5 e sobra 0. Colocamos 0 na lista, {0, 1, 0}.

• Passo 4) Dividimos o resultado do passo 3 por 2: 5 ÷ 2, que dá 2 e sobra 1. O 1 vai para a lista: {0, 1, 0, 1}.

• Passo 5) Estamos acabando! Pegamos o 2, o resultado do passo 4, e dividimos por 2: 2 ÷ 2, que dá 1 e e sobra 0. Colocamos o 0 na lista: {0, 1, 0, 1, 0}

• Passo 6) O penúltimo! Divimos o 1 que deu no passo 5 por 2, e obtemos 0 com resto 1. Colocamos esse 1 na lista {0, 1, 0, 1, 0, 1} e paramos, pois o resultado deu 0.

• Passo 7) Para acabar, invertemos a lista e temos o nosso número: 101010_b = 42₁₀.

E é isso!

Para treinar, converta os seguintes números para binário:

1. 16 2) 31 3) 2

Agora você já sabe converter de uma base para a outra! Parabéns!