Equações Diofantinas
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Por: Matheus S.
02 de Julho de 2024

Equações Diofantinas

O problema com números inteiros que traduz uma gama de soluções interessantes

Matemática Ensino Médio Geral Concursos

No cotidiano já nos deparamos com problemas do tipo, quantas cédulas de um determinado valor e quantas de outro determinado valor resultam no valor que busco?. Sendo mais específico, imagine que se dispõe a vontade de cédulas de 2 reais e 5 reais. Quantas possibilidades combinadas destas cédulas podemos formar 20 reais? Diante deste problema, podemos pensar e supor soluções (o que no fundo, é um caminho muito coerente), 5 cédulas de 2 e 2 cédulas de 5 reais, etc. Indo para a exemplificação de uma equação diofantina, transformamos esta linguagem em um formato algébrico:

  • 2A + 5B = 20, onde A é a quantidade de cédulas de 2 reais, B representa o quantitativo de cédulas de 5 reais, e neste caso A, B ∈ Z.

A forma de resolver esta equação é pelo meio de soluções conhecidas e também com a presença de parâmetros que variam. Em termos mais simples, precisamos de uma solução conhecida e usar os coeficientes (que são os valores das cédulas).

  • Solução:

A = a + 5t, onde "a" e "b" traduzem uma solução possível

B = b - 2t

Como bem sabemos a = 5 cédulas de 2 reais e b = 2 cédulas de 5 reais é uma solução possível, temos então que: A = 5 + 5t e B = 2 - 2t.

Para saber a quantidade exata, iremos recorrer ao uso de habilidades matemáticas envolvendo desigualdades.

Como A, B ∈ Z:

  • A > 0 (positivo e não nulo) | B > 0 (positivo e não nulo)

5 + 5t > 0                                 | 2 - 2t > 0

5t > - 5                                    | - 2t > - 2

t > - 1                                      | 2t < 2

                                               | t < 1

A interseção destas soluções (processo que será omitido por ora) nos leva a - 1 < t < 1, onde "t" pode assumir apenas o valor 0. Assim, só temos uma situação possível: 5 notas de R$ 2 e 2 notas de R$ 5 são a única combinação destas cédulas que resultam em R$ 20,00.

 

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