Equações Diofantinas

No cotidiano já nos deparamos com problemas do tipo, quantas cédulas de um determinado valor e quantas de outro determinado valor resultam no valor que busco?. Sendo mais específico, imagine que se dispõe a vontade de cédulas de 2 reais e 5 reais. Quantas possibilidades combinadas destas cédulas podemos formar 20 reais? Diante deste problema, podemos pensar e supor soluções (o que no fundo, é um caminho muito coerente), 5 cédulas de 2 e 2 cédulas de 5 reais, etc. Indo para a exemplificação de uma equação diofantina, transformamos esta linguagem em um formato algébrico:

• 2A + 5B = 20, onde A é a quantidade de cédulas de 2 reais, B representa o quantitativo de cédulas de 5 reais, e neste caso A, B ∈ Z.

A forma de resolver esta equação é pelo meio de soluções conhecidas e também com a presença de parâmetros que variam. Em termos mais simples, precisamos de uma solução conhecida e usar os coeficientes (que são os valores das cédulas).

• Solução:

A = a + 5t, onde "a" e "b" traduzem uma solução possível

B = b - 2t

Como bem sabemos a = 5 cédulas de 2 reais e b = 2 cédulas de 5 reais é uma solução possível, temos então que: A = 5 + 5t e B = 2 - 2t.

Para saber a quantidade exata, iremos recorrer ao uso de habilidades matemáticas envolvendo desigualdades.

Como A, B ∈ Z:

• A > 0 (positivo e não nulo) | B > 0 (positivo e não nulo)

5 + 5t > 0                                 | 2 - 2t > 0

5t > - 5                                    | - 2t > - 2

t > - 1                                      | 2t < 2

                                               | t < 1

A interseção destas soluções (processo que será omitido por ora) nos leva a - 1 < t < 1, onde "t" pode assumir apenas o valor 0. Assim, só temos uma situação possível: 5 notas de R$ 2 e 2 notas de R$ 5 são a única combinação destas cédulas que resultam em R$ 20,00.