Euclides e a geometria

 Euclides e a geometria: da geometria prática dos egípcios a abstração dos gregos.

Mikaely da Silva Alves Marcelino Melo. Instituto Federal – IFCE campus Juazeiro do Norte. Aluna do curso de Licenciatura em Matemática. mikaely_marcelino@outlook.com

Resumo:

Encontramos-nos em meio a computadores, robótica e caos da tecnologia. Mas como chegamos até aqui? Evoluindo. A computação é a última revolução da geometria e não haveria uma última se não houvesse a primeira. Esta primeira revolução tem como principal representante Euclides de Alexandria. Por quê ele? De certo ele foi um grande home, matemático, geômetra e em suas obras inclui-se os Elementos. Um tratado de treze livro que tratam dos mais diversos assuntos da matemática e geometria. Contudo existiram outros matemáticos antes de Euclides que fizeram grandes descobertas e o trabalho de muitos deles foram eternizados na grande obra de Euclides. Desde antes dos egípcios o homem vem evoluindo e aprendendo, porém somente com a sistematização deste conhecimento é que seria possível uma evolução teórica de forma ordenada e compreensível. E foi esse o principal trabalho de Euclides, entretanto devemos também dar destaque a outros matemáticos nesta evolução que não pode ter acontecido da noite para o dia mas que trouxe uma nova visão de mundo para seus contemporâneos. Hoje aprendemos o que eles descobriram para fazermos novas descobertas e continuarmos com esta evolução que não pode parar. Busquei neste trabalho fazer um panorama cultura-intelctual das sociedades pré-euclidianas e em que consistia seu conhecimento e o que de novo trouxe Eulcides para que ele fosse considerado o marco da evolução histórica (mais perceptível) da geometria. Abordando dimensão do entendimento e necessidade da evolução do saber de cada sociedade estudada e seus teóricos mais famosos.

Palavaras-chave: Revolução da geometria; matemáticos; Elementos de Euclides.

1. Introdução

A geometria, por ser um "fruto" do homem, está em constante evolução, assim como tal. A última e ainda inacabada revolução relaciona a geometria (o conceito de espaço) e a física (as leis do mesmo). Segundo Edward Witten, a própria teoria das cordas seria um novo ramo da geometria (apud, Mlodinow, 2005.). Mesmo esta sendo uma revolução inacabada, considerando que estamos entre o meio e o fim desta, nada teria sem a "Revolução a velocidade da Luz", assim chamada por Leonard Mlodinow, autor de "A janela de Euclides", livro base deste projeto, por se tratar do rompimento de algumas das Leis de Newton a respeito de espaço e tempo, seu maior estudioso foi Albert Einstein. Leis essas formuladas a partir de uma revolução anterior que credita Gauss como seu principal revolucionário. Esta revolução foi ocasionada pelo 5º postulado de Euclides. Melhor dizendo, pelo descontentamento de matemáticos não apenas por seu lugar como suposição, bem como por seu conteúdo, que deixa margens a dúvidas por não ser, como outros, quase, intuitivos. Gauss, em 1792, chegou onde muitos matemáticos haviam apenas chego perto, e encontrou, ao tentar provar o quinto postulado de Euclides, espaços curvos que desmentiam o espaço descrito por Euclides e Descartes. A matemática e a física da época caíram por terra e entramos numa nova era onde o espaço descrito por Euclides pode não ser o espaço onde nos encontramos.

          Entretanto, antes de Gauss, tivemos nomes como Descartes. Este, 12 séculos após inicio de uma nova revolução, conseguiu findar o trabalho de matemáticos e cartógrafos gregos que tentavam descrever o espaço de forma abstrata.  Toda essa revolução/evolução da geometria não seria possível sem, obviamente, a primeira revolução, iniciada quando o homem precisou "medir a terra" e concluída com o trabalho de Euclides e seus Elementos. "Euclides foi um homem que, possivelmente, não descobriu uma só lei da geometria. No entanto, [...]. Atualmente, ele é nosso garoto-propaganda da primeira grande revolução da geometria no conceito espaço [...]" (MLODINOW, 2005, pag. 15). Contudo não podemos falar em revolução sem antes fazer um panorama da geometria descrita na época de Euclides e sua antecessora. A geometria grega, apesar muito mais abstrata, tem bastante do conhecimento egípcio que era, quase, puramente pratico. É verdade que os egípcios fizeram grandes construções com a auxílio da geometria e matemática, porém toda a abstração encontrada em pergaminhos, tábuas, dentre outros achados, nos revela apenas meios para facilitar os cálculos ou uma forma de torná-los mais precisos.

          O trabalho feito pelos egípcios era fabuloso, a prova disso é que muito dele ainda resiste às intempéries através dos tempos unindo o presente e o passado nos dando informações valiosas como os esticadores de corda. Sem eles e seus patrões, talvez as pirâmides não fossem tão majestosas. Os harpenodoptas utilizavam cordas com nós para mensurar a terra que, por exemplo, seria escavada para um alicerce. A inclinação delas é a mesma da base ao cume, e para isso os egípcios desenvolveram um sistema para calcular a inclinação baseado no quanto as pedras se afastavam de uma linha vertical e outra horizontal. Há indícios de que Pitágoras de Samos, discípulo de Sócrates, viveu no Egito absorvendo seu conhecimento prático e o tornando abstrato em meio a estudos. Lá, Pitágoras chegou a ser sacerdote, provavelmente, por conta de seu vasto conhecimento. Ele é uma das ligações entre a prática dos egípcios e a abstração dos gregos. A geometria grega, mais desenvolvida que a egípcia, já utilizava de prova e demonstrações que não, necessariamente, remetiam à prática. Os geômetras gregos faziam uso de termos simples para iniciar suas provas como o ponto, a reta e o plano.

          O método abordado neste artigo consistiu na dedução, a partir de premissas encontradas em um levantamento bibliográfico a respeito da evolução histórica de geometria desde o conhecimento prático dos egípcios à geometria grega. Onde o principal objetivo fora analisar as contribuições dos geômetras mais conhecidos, atualmente, chegando às contribuições de Euclides.Por meio da qualificação dos resultados da pesquisa bibliográfica, buscando chegar ao que a revolução (neste caso a primeira) da geometria representa. E ainda a estrita relação entre as obras (ou obra) de Euclides e essa revolução. Explorando o que já fora documentado sobre a Geometria Antiga e a vida e obras de Euclides, visando encontrar artigos, livros, sites (blogs e/ou páginas da internet), tcc's e afins que abordem a(s) contribuição (ou contribuições) e obras, nomeadas, de Euclides e dos maiores matemáticos/geômetras e filósofos que também escreveram, estudaram, trabalharam e analisaram a geometria ou o mundo por uma visão geométrica, como, por exemplo, no estudo do espaço.

2. Desenvolvimento

Para analisar a influência que Euclides teve na geometria, antes se faz necessário um passeio pela evolução histórica dessa. Desde os egípcios o home vem acumulando conhecimento, o grande marco da revolução da geometria foi quando um matemático grego compilou a parte que ele julgou básica e necessária para a compreensão de problemas não elementares e mais complexos. A seguir a história dessa evolução.

2.1.A prática dos egípcios.

Nada pode-se falar sobre a "geometria de um povo", sem conhecer um pouco de seu cultura. Sabendo que o objetivo deste trabalho fora descrever e analisar a geometria "pré-euclidiana" e a influência que ele teve sobre ela com suas obras clássicas, se fez necessário abrir espaço para a cultura de diferentes povos com suas geometrias. O Egito foi um dos berços da civilização, mais antigo que este só a Mesopotâmia, entretanto esta é assunto para outro trabalho. Ao contrário da Mesopotâmia, o Egito era um lugar protegido naturalmente pelo deserto. Com muito reinados sucessivos de paz, o ambiente era propício a grandes evoluções matemáticas. É bem verdade que não houve grandes descobertas matemáticas, porém esta fora bastante desenvolvida. Ela era de fundamental importância na construção das pirâmides, que velavam o sono de morte de seus faraós, nos canais de irrigação e a geometria tinha um uso ainda mais especial: demarcar os terrenos do rei que eram distribuídos entre os agricultores e deles retirados impostos proporcionais a suas áreas. Com frequência o Nilo enchia, inundava e apagava as demarcações dos terrenos. Enquanto o rio estivesse cheio, o proprietário do lote poderia receber um desconto, proporcional a área inundada, de seus impostos. E para isso era preciso um conhecimento básico de proporcionalidade e de áreas.

A escrita dos egípcios também era bastante desenvolvida. A compreensão de, pelo menos parte, desta veio por meio da Pedra de Rosetta que continha inscrições nas línguas grega, demótica e hieroglífica, demonstrando, nos egípcios, conhecimento de grandes números desde tempos remotos. Eram também exímios contadores e medidores, e aprova disso são as pirâmides que de tão bem projetadas resistiram até hoje as intempéries e ao tempo. Seu calendário também era bem trabalhado. Eram muito interessados em astronomia e logo perceberam que as cheias do Nilo ocorriam logo após Sirius, a estrela do cão, chegar em determinado ponto. Vendo que essa estrela chegava no ponto que precedia as cheias a cada 365 dias, eles criaram um calendários de doze meses de trinta dias e cinco dias de festa em comemoração a colheita. Embora não totalmente exato, pois o calendário tinha um ciclo de atraso até voltar ao dia certo da inundação, esta calendário já é bem próximo do atual. (BOYER, 1996)

Tudo o que sabemos deste povo são evidencias encontradas em tábuas de argila, nas pirâmides, escavações e nas dezenas de papiros e um desses é o papiro de Ahmes. Com cerca de trinta centímetros de largura e cinco metros de comprimento, o papiro de Rhind ( que o comprou no Egito 1858) ou de Ahmes (que o escreveu por volta de 1650 a. C.), nos revela muito do conhecimento e raciocínio egípcio em seus 85 problemas que abordam frações unitárias, cujo o numerador será sempre um; operações aritméticas, que tinham como base a soma; problemas algébricos, mostrando que eles já tinha um noção de abstração, mesmo que utilizada somente para facilitar os cálculos; geometria e razões trigonométricas. A geometria mostrada no papiro de Ahmes mostra-nos um conhecimento teórico de congruência e a ideia de prova, mas os egípcios não desenvolveram uma geometria abstrata. Essa era puramente prática e de uso cotidiano pelo "esticadores de corda" ou os "harpedonopta's". Eles usavam cordas demarcadas por nós para mesurar o espaço. Em geral eram escravos quem esticavam as cordas de modo que um nó ficasse nos vértices das figuras, comandados por um senhor que fazia os cálculos. Os egípcios já demonstravam conhecimento prático do teorema do triângulo retângulo,ou o teorema de Pitágoras e muitas outras relações geométricas que eram aplicadas nas pirâmides e nas demarcações após as cheias do Nilo.

Para solucionar problemas de área de triângulos e trapézios isósceles eles os transformavam em retângulo de mesma área, no caso do triângulo tomando como medidas metade da base e sua altura. Eles também encontraram uma aproximação muito próxima de p, tomado como 3  . Eram comuns, ainda, problemas que envolviam círculos e quadrados e a área do circulo era dado pelo quadrado de lado igual á    do diâmetro do circulo, o que era uma boa aproximação considerando o valor que eles tinha para p. (BOYER, 1996. EVES, 2004). Em suma, os egípcios tinham potencial para crescimento matemático, porém com seu sítio seguro e o Nilo com suas cheias frequentes, não se fazia necessárias obras com elevado grau de engenharia. Ainda assim esse conhecimento prático teve participação no desenrolar da geometria grega.

2.2.A geometria grega e os grandes geômetras.

Geometria vem do grego "geometrien" que difere um pouco da nossa geometria, pois quer dizer 'medir terra'.  Entretanto a geometria grega é muito mais abstrata que as anteriores. A geometria plana ou euclidiana é constituída a partir desse que utiliza de termos simples para provas como: o ponto, a reta e o plano.

Eles [os gregos] reconheceram que os estudos de geometria eram de "formas eternas", ou abstrações, das quais os objetos físicos são apenas aproximações; e eles desenvolveram a ideia do "método axiomático", ainda em uso hoje. (Wikipédia.)

Os gregos valorizavam a busca pelo conhecimento, costumavam se reunir na ágora e conversar sobre problemas elementares. Sócrates ia a uma sapataria para conversar com Simão que mais tarde introduziu o método de Sócrates para conversação. Existiam também, os simpósios, que significa "beber juntos", onde eles se reunião, bebiam e "filosofavam". Aqueles menos capazes ou que cometiam erros pagavam prenda como dançar nu para deleite dos demais. Cabe aos gregos toda essa beleza da matemática, a abstração e demonstração.

Foi por volta de século VI a. C. que a matemática, e por consequência a geometria, se estabeleceu como ciência na Grécia Antiga. Com premissas da geometria egípcia, os gregos começaram a estabelecer o sistema dedutivo axiomático, até hoje utilizado, para prova e demonstrações de problemas. Mas não podemos falar em geometria grega sem falar em seus geômetras.

Tales

Tales, nascido em Mileto, região próxima Ásia Menor, no rio Meandro, fora um mercador que se tornou o primeiro cientista, matemático e filósofo do mundo. Mas o que se sabe de sua vida são apenas conjecturas baseadas nas, como disse Boyer em seu livro História da Matemática a respeito de atribuições feitas a Tales e Pitágoras, "tradições persistentes". Sabe-se que Tales, após aposentar-se como mercador, homem rico que era, viajou pelo Egito e Babilônia adquirindo conhecimento. Tales é o primeiro homem a quem se creditam descobertas matemáticas.

Em geometria, creditam-se a ele os seguintes resultados elementares:

1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
3. Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
4. Se dois triângulos tem dois ângulos e dois lados em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais. [...]
5. Um ângulo inscrito num semicírculo é reto. (Esse resultado era de conhecimento doa babilônios 1400anos antes.)(EVES, p.95, 2004)

Tales foi considerado um dos sete homens mais sábios do mundo, o que ainda é um grande feito, mesmo considerando o nível de esclarecimento das pessoas da época em que esteve vivo. Foi ele também quem começou a trilhar o caminho da sistematização da geometria, caminho este que será trilhado, mais tarde, por Euclides de Alexandria. Inventou, ainda, o sistema de raciocínio lógico e foi o primeiro a ideia de congruência de objetos. Contudo continuou com o nome de "medir terra" para sua nova matemática, e como bom grego que era utilizou-se do nome geometria. Afirmava que com observação e raciocínio poderíamos explicar qualquer evento natural, que a natureza seguia leis regulares e que toda a matéria deveria vir da mesma coisa. Pensamento muito avançado para se ter somente com a intuição. Quando já velho e frágil, a vida e um filósofo chamado Ferecides, lhe apresentam um jovem, que se tornou um dos principais precursores de Euclides, Pitágoras de Samos.  E Tales ciente de sua idade, desculpou-se por seu intelecto já lento e disse a Pitágoras para ir ao Egito.

Pitágoras

Um jovem de dezoito anos que perdeu seu pai ganhou de seu tio algumas pratas para seus estudos e o nome de professor. Esse era Pitágoras de Samos. Ele viajou até Lesbos e conheceu aquele que se tornou um grande amigo, Ferecides que ciente das necessidades de Pitágoras, dois anos mais tarde, o encaminhou a Mileto onde este conheceu Tales, um velho e frágil sábio. Tales desculpou-se pois já considerava seu raciocínio lento em comparação com o de Pitágoras. Tales o mandou ao Egito para aprender com eles algumas leis de sua geometria. Pitágoras, ao chegar no Egito, decepcionou-se com a natureza bruta dos cálculos feitos pelo egípcios que desconheciam a abstração, não havia beleza em sua matemática. (MLODINOW, 2005.)

Em suas viagens reuniu muitos seguidores e formou uma comunidade secreta, tanto que não podemos citar obras, além do teorema de Pitágoras, que sejam somente do matemático, em geral eram atribuídas ao grupo. A escola de Pitágoras unia "ciência" e religião. Seus alunos tinham que seguir sua doutrina e algumas regras, como o vegetarianismo estrito, todos os bens eram comuns, deviam usar roupas simples de linho branco. Algo que os destacava muito era o fato de não urinarem em publico e não copularem na frente de outros. (MLODINOW, 2005.) Proclo, apud Boyer (1996) diz:

Pitágoras, que veio depois dele [Tales],, transformou essa ciência [a geometria] numa forma liberal de instrução, encaminhando seus princípios desde o inicio e investigando os ternos de modo imaterial e intelectual. Descobriu a teoria das proporcionais e a construção de figuras cósmicas. [Thomas, 1939,p.148](BOYER, p.35, 1996)

Se confiarmos nessa afirmação, em cem por cento, atribuímos a Pitágoras a ideia  de ensino formal, proporcionalidade e construção ou desenho geométrico. Mesmo não tendo realizado todo o trabalho só, Pitágoras fora de fundamental importância para  a matemática que conhecemos hoje. Credita-se ele pelas palavras filosofia (ou "amor pela sabesoria") e matemática (ou "aquilo que se aprende"). Dentre a suas principais contribuições, e dos pitagóricos, estão:

• A descoberta dos números amigáveis, um par de números que são iguais a soma dos divisores um do outro;
• Números perfeitos, deficientes e abundantes classificados assim pela soma de seus divisores e se essa for igual a ele o mesmo é perfeito, se menor é deficiente e maior abundante;
• O conhecido teorema de Pitágoras: h²=c²+c²;
• A descoberta dos racionais, que por muito tempo foi segredo entre eles;
• O método das proporcionais (como citado por Proclo) e o método da aplicação;
• A descoberta dos três primeiros poliedros regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro. (EVES, 2004)

Muitas dessas aparecem nos Elementos de Euclides. Pitágoras, por muitas vezes, pode ter confundido numerologia com o estudo da álgebra e geometria, suas façanhas são confundidas com as de seus seguidores, já que eles quase não divulgavam as descobertas e quando faziam denominavam o grupo como autor, mas ele sem duvida foi um grande geômetra e homem influente, apesar de evitar o quanto pode ter inimigos políticos. Mas quando não pode mais evitar esse inimigo, sua sociedade chegou ao fim.

Sem dúvida alguma Tales e Pitágoras foram responsáveis por grandes feitos, mas na segunda metade do século V a.C., há relatos de diversos matemáticos por quase toda a Grécia e as obras de muitos deles foram para os Elementos de Euclides. Dentre eles estão:

Hipócrates de Qui (ou Chio), a quem se atribui o teorema: "Seguimentos de círculos semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas bases." Talvez o mais antigo relato de mensuração de curvas do mundo grego.Hipócrates viveu por volta de 430 a. C., e pode ter sido ele quem introduziu o conceito de demonstração na matemática. (BOYER, p.45, 1996)

Hipias de Elis (460-400 a.C.), um sofista nato, sobrevivia do que cobrava por suas aulas " estudou a trissecção do ângulo e introduziu na matemática da primeira curva além do círculo e da reta, a curva de Hipias"(UFCG). Ta,bem inventou e ensinou a mneumotécnica, a arte da memória e previu o fim das cidades-estados.

Arquitas de Tarento (428-365 a. C.) foi discípulo de Filolaus e amigo de Platão. Inventou o primeiro brinquedo voador. (UFCG).Entre seus enunciados da "média harmônica" observa-se qu na razão, entre dois números, n : (n+1) não pode existir média geométrica.

Filolaus de Tarento (ou de Crotona, 480-370 a. C.) foi um filósofo pré-socrático e matemático pitagórico, foi autor de Escritos Pitagóricos e professor de Arquitas e Demócrito.

Demócrito  de Abdera (460-370 a. C.), filósofo, historiador e cientista grego, escreveu inúmeras obras como "Sobre o Pitagorismo", "Sobre a geometria", etc. (UFCG). Arquimedes lhe atribui o teorema que diz: o volume do cone é um terço do volume do cilindro circunscrito.

Eudoxo de Cnido foi discípulo do Platão e é conhecido como o pai da astronomia. Arquimedes lhe atribui feitos como a teoria das proporções, o axioma de Arquimedes (ou de Eudoxo) que diz "que dadas duas grandezas que tem uma razão, pode-se achar um múltiplo de qualquer delas seja maior que a outra" (BOYER, p.63, 1996), e que serviu de base para o método da exaustão. Foi criador do platonismo, amigo de Sócrates e discípulo de Aristóteles.

Meneacmus, discípulo de Eudoxo, pode ter sido o primeiro a descobrir a elipse e as secções cônicas. Foi professor de Alexandre, o grande. (UFCG)

Dinostrato, irmão de Meneacmus, seu teorema diz que: "o lado a é média proporcional entre o segmento DQ e o arco do quarto de círculo (UFCG)".

Contudo, não podemos esquecer Platão que apesar de não ser matemática, sua convicção de que a matemática os levaria (seus contemporâneos) ao estado ideal o tornou muito conhecido neste campo. Foi o fundador da academia de Atenas, a primeira instituição de ensino superior do mundo ocidental. "Ele ajudou a fazer a distinção entre a matemática pura e a matemática aplicada, ampliando o fosso entre a "aritmética", agora chamada de teoria dos números e "logística", agora chamada de aritmética" (Wikipédia). Ele é considerado o elo entre a matemática dos pitagóricos e escola de Alexandria. Muitos matemáticos sejam como amigos ou discípulos foram influenciados por Platão. O mãos famoso, de seus alunos, é com certeza Aristóteles, além de outros como Eudoxo e Xenocrátes, quem escreveu "O tratado da morte" e cometeu suicidou para manter-se coerente com seus ideias.

2.3.Euclides e os Elementos

A vida de Euclides é um mistério para todos que buscam conhecer o tão famoso geômetra. Existem algumas suposições a respeito dele. Não sabemos ao certo onde ou quando ele nasceu e morreu, mas há evidencias de que ele ministrou aulas na escola de Alexandria. Supões-se que Euclides estudou na escola de Platão e teve acesso as obras de Terido e Eudoxo, entretanto muito sobre Euclides se confunde com relatos sobre outros matemáticos. Ele escreveu pelo menos dez trabalhos dos quais se conhece, razoavelmente, tudo de apenas cinco. Entretanto sua obra mais famosa é o conjunto de livros conhecido como Elementos, porémnão é a única obra conhecida de Euclides, Os Dados, A divisão de figuras, Os fenômenos e Óptica são os outros trabalhos que sobreviveram ao tempo. A obra Os dados, pode ser considerada um prelúdio de Elementos, já que muito dela coincide com os primeiro volumes da grande obra.

 É importante ressaltar que Euclides não foi pioneiro na escrita de seus Elementos, pois Hipócrates de Chio e Terido de Magnésia também escreveram seus Elementos. E aparentemente a obra de Terido foi precursora do trabalho de Euclides."Assim, é provável que os elementos de Euclides sejam, na sua maior parte,uma compilação bem sucedida e um arranjo sistemático de  trabalhos anteriores."(EVES, p.168, 2004).

 Na cultura matemática-grega o nome elemento tem significado especial. Estes são denominados como proposições elementares para a discussão e aprendizagem de determinado tema. "Segundo Proclo, os gregos antigos definem "elementos" de um studo dedutivo como os teoremas-mestre, ou teoremas-chave, de uso geral e amplo no assunto[...]" (EVES, p.176, 2004). Euclides teve muito trabalho com as demonstrações, mas seu sucesso se deve a felicidade das suas escolhas. Os Elementos de Euclides, não é apenas um livro, mas um conjunto de treze volumes, não só de geometria, bem como teoria dos números e álgebra elementar.

O livro I trata de teoremas de congruências, doo postulado das paralelas e do teorema e da recíproca de Pitágoras. O II, de transformações de área e álgebra geométrica. No livro III são abordados teoremas de círculos, secantes, tangentes e medidas de ângulos de geometria elementar. No livro IV é trago a construção com régua (sem escala) e compasso (euclidiano). O V livro é praticamente uma compilação do trabalho de Eudoxo. Em seu VI livro, Euclides trás diversas aplicações de da Teoria de Eudoxo na geometria plana. "Provavelmente não há um teorema nesse livro que fosse desconhecido pelos pitagóricos antigos.[..]"(EVES, P.173, 2004) Os VII, VIII e IX livros trazem a teoria elementar dos números. O X tem como foco os irracionais e os três últimos livros trabalham grande parte da geometria sólida, excluindo a esfera.  "É mais provável que os Elementos tivessem sido escritos como um texto introdutório de matemática geral." (EVES, p.175, 2004)

Como destacado até agora, nas citações, Euclides não elaborou, em seus Elementos um trabalho verdadeiramente original. No entanto, devemos considerar que essa reunião de postulados que ele fez possibilitou o crescimento da geometria de forma mais organizada, rápida e prática. "Euclides sabia muito mais geometria do que figura em seus Elementos" (EVES, p.176, 2004). Com isso é possível supor que seu vasto conhecimento propiciou a ele uma melhor capacidade de distinção dos teoremas fundamentais para sua obra.

          O método postulacional de Euclides, que consiste na demonstração de uma  afirmação a partir de uma mais simples, clara e definida, entranhou-se em vários âmbitos da matemática. Concordamos com Eves (2004) quando este diz que Euclides, possivelmente, tenha adotado a sutil diferença entre axioma e postulado seguindo a corrente de que um postulado é um termo aceito dentro do universo do tema estudado e axioma é como uma verdade universal. Os Elementos de Euclides foram escritos em 300 a. C. e só não teve mais edições que a bíblia. A sua versão mais antiga é a comentada por Teon de Alexandria e sua primeira versão impressa data de 1482, em Veneza. Sem dúvida alguma essa foi a obra matemática que mais influiu na sua evolução.

3. Considerações finais

A revolução da geometria não aconteceu da noite para o dia, muito menos foi causado por um único homem, mas seu principal representante é Euclides. Ele reuniu a obra de diversos autores e por consequência conhecimento desde os egípcios até sua atualidade.  Os egípcios fizeram grandes descobertas, apesar de não conhecermos grandes matemáticos egípcios, mas não foram além de suas necessidades. Os gregos tinham alto grau de abstração, deram continuidade e melhoraram a teoria que veio do Egito, agregando as suas próprias descobertas. Houve muitos matemáticos/geômetras que fizeram mais descobertas que Euclides, porém a contribuição que este deu para a continuidade da descoberta não tem tamanho. O método que de demonstração que Euclides introduziu na matemática mudou a forma como eram encarados muitos problemas, sejam eles geométricos, algébricos ou aritméticos.

Filósofos como Aristóteles, Platão foram cruciais para evolução do conhecimento do homem acerca do homem. Matemáticos como Hipócrates, Eudoxo, Demócrito, e outros trouxeram novos temas, teoremas, postulas, enfim, descobertas, contudo mesmo aqueles que dedicaram um pouco de seu tempo para organizar, compilar e sistematizar o conhecimento naco obtiveram tanto reconhecimento quanto Euclides, que,até hoje, seu postulado causa discussões por não ser tão claro quanto os outros quatro que iniciam seu conjunto de livros. Mesmo sem fontes sobre a vida de Euclides, uma coisa é certa: ele foi um homem sábio. Não apenas por ser um matemático, possível aluno da escola de Platão e professor em Alexandria, mas por seu desempenho em formular tamanha obra. Ele pode não ter formulado um só teorema em sua obra, mas seu rigor e conhecimento ao escrever foram inigualáveis.

4. Referencias

BOYER, Carl B. História da matemática. Editora Edgar Bluncher Ltda. 2ª Ed. 1996. São Paulo.

EVES, Howard. Introdução a história da matemática. Editora da UNICAMP, 2004. Campinas, SP.

MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides: A história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço. Geração Editorial, 2005. São Paulo.

Wikipédia: a enciclopédia livre. <https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_geometria#Geometria_grega>. Acesso em: ago/ 2016.

UFCG. Arístocles Platão. < http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/Platao00.html> acesso em out/2016.

UFCG. Arquitas de Tarento. < http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/Arquitas.html> Acesso em out/2016.

UFCG. Demócrito de Abdera. < http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/Democrit.html> Acesso em out/2016.

1. Filolau de Terento ou de Crotona <http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/Filolaus.htm> Acesso em out/2016.

UFCG. Hípias de Elis, o sofista. < http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/HipiasEl.html> Acesso em out/2016.