Integrais impróprios

Olá, Albertino!

Para começar, lembremos que uma integral imprópria de uma função  sobre o intervalo  é o limite de uma integral própria quando um dos extremos de integração (neste caso, )não está no domínio da função .

No item a), temos que

,

e vemos que, de fato, não está no domínio de , então faz sentido considerar que a integral em questão é imprópria
Assim, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, se considerarmos que é uma antiderivada qualquer de (ou seja, ), precisamos apenas descobrir se o limite

existe. Repare que usamos, na segunda igualdade, a aditividade dos limites e o fato de que toda antiderivada é contínua. Nossa questão, agora, se resume apenas em tentar encontrar o segundo limite.
Para isto, utilizaremo um pouco de álgebra. Lembrando que , e que , temos

Sabemos, então, que

.

Agora, utilizando a monotonicidade da integral , colocando , temos que

,

e então podemos concluir, pelo Teorema do Confronto, que
,

onde utilizamos o fato de que .

Percebendo que é estritamente crescente e limitada, podemos afirmar que é limitada no infinito. Assim,  existe, então nosso limite original também existe, e então a integral imprópria é convergente.

No item b), adotaremos um método parecido. Neste caso, temos

. Observe que, neste caso, tanto quanto estão fora do domínio de , mas a questão pode ser recolocada se percebermos que

. Utilizando a aditividade da integral sobre intervalos, concluímos que

, e o problema passa a ser o de calcular as duas integrais impróprias, uma em e outra em

Para a primeira, observemos que

,

e então, utilizando novamente a monotonicidade da integral sobre funções não-negativas, temos
. Então, vemos prontamente que

, pois vai a quando vai a . Vemos então que a primeira integral imprópria diverge a .

Para a segunda, o procedimento é similar:

. A partir da última desigualdade, temos que

.

Juntando as desigualdades obtidas, vemos que

, e então, pelo mesmo argumento da primeira parcela, temos que

Seguimos, então, com

. Vemos então que a segunda integral imprópria adquire valor positivo.

Assim, podemos voltar ao limite original:

, ou seja, a integral imprópria é divergente.