Problema de Monty Hall
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Por: Roberto A.
03 de Julho de 2018

Problema de Monty Hall

Matemática Geometria Probabilidade Probabilidade Geral Ensino Médio

Imagine que você está participando de um jogo em um programa de televisão onde você tem a possibilidade de ganhar um carro!

O jogo é o seguinte, você tem na sua frente três portas, em uma delas há um carro e nas outras duas algo sem valor como uma cabra. Ao escolher uma delas, o apresentador então lhe mostra o que há por trás de uma das outras duas portas e lhe pergunta se você deseja trocar para a porta que sobrou, ou se deseja continuar com a sua escolha. O que você faria?

Esse problema é conhecido como Problema de Monty Hall, que recebeu o nome do apresentador do programa Let's make a deal, no qual milhares de pessoas participaram do jogo descrito acima.

Agora, do ponto de vista matemático, mudar de porta após conhecer uma delas ajuda, piora, ou não faz a menor diferença? Surpreendentemente, a resposta é AJUDA! Vamos então entender como.

 

Começamos o jogo sem nenhuma informação além de que em uma das portas há um carro, nas outras duas cabras. Nesse caso, como temos 3 opções, temos 1/3 de chance de escolher a porta com o carro e 2/3 de chance de escolher cabras. Até agora nenhuma novidade, apenas o bom e velho (número de casos)/(número total de opções). Vamos analisar então o que acontece conforme o andar do jogo e quais são nossas chances de vitória caso mudassemos a nossa escolha inicial.

     1               2              3
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Suponhamos, para facilitar a visualização dos dados, que tenhamos escolhido a porta 1 inicialmente. Para ilustrar, pintarei de laranja a porta escolhida e de azul a porta que será aberta em seguida. Dentro das portas escreverei "P" para prêmio e "C" para cabra em cada um dos possíveis rumos do jogo. Vamos conhecer quais são os três caminhos possíveis.

 

Caso I -) Escolhemos a porta 1 e a distribuição atrás delas é: P - C - C.

     1               2              3
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|         |     |         |    |         |
|   P    |     |   C    |    |   C    |
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|         |     |         |    |         |
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Com isso, o apresentador tem como opção abrir a porta 2 ou 3 (pintei a porta dois, mas seria a mesma coisa com a porta 3). Em seguida decidimos mudar para a porta que sobrou e acabamos encontrando a cabra. Portanto, nessa ocasião, perderíamos o jogo. Caso I - Derrota

Caso II-)

     1               2              3
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|         |     |         |    |         |
|   C    |     |   P    |    |   C    |
|         |     |         |    |         |
|         |     |         |    |         |
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Neste caso, o apresentador pode abrir apenas a porta 3, pois ele nunca abrirá uma porta que contenha o prêmio. Ao mudarmos de porta, estaremos então escolhendo a porta com o carro, ganhando o jogo. Caso II - Vitória

Caso III-)

     1               2              3
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|         |     |         |    |         |
|   C    |     |   C    |    |   P    |
|         |     |         |    |         |
|         |     |         |    |         |
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Nesse último caso possível vemos que novamente o apresentador possui apenas uma opção de porta para abrir. Com isso, como no Caso II, mudando de porta estamos trocando a cabra pelo prêmio e ganhando o jogo! Caso III - Vitória

Se contarmos agora em quantas das possibilidades ganhamos e em quantas perdemos, chegamos à conclusão de que nossa escolha inicial era correta em apenas 1/3 dos casos, mas que ao decidirmos mudar aumentamos nossa chance de vitória para 2/3! 

 

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Roberto A.
Roberto A.
Campinas / SP
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Graduação: MATEMATICA (Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP))
Matemática para Ensino Médio, Matemática para Ensino Fundamental, Matemática para Enem
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