Problema de Monty Hall

Imagine que você está participando de um jogo em um programa de televisão onde você tem a possibilidade de ganhar um carro!

O jogo é o seguinte, você tem na sua frente três portas, em uma delas há um carro e nas outras duas algo sem valor como uma cabra. Ao escolher uma delas, o apresentador então lhe mostra o que há por trás de uma das outras duas portas e lhe pergunta se você deseja trocar para a porta que sobrou, ou se deseja continuar com a sua escolha. O que você faria?

Esse problema é conhecido como Problema de Monty Hall, que recebeu o nome do apresentador do programa Let's make a deal, no qual milhares de pessoas participaram do jogo descrito acima.

Agora, do ponto de vista matemático, mudar de porta após conhecer uma delas ajuda, piora, ou não faz a menor diferença? Surpreendentemente, a resposta é AJUDA! Vamos então entender como.

Começamos o jogo sem nenhuma informação além de que em uma das portas há um carro, nas outras duas cabras. Nesse caso, como temos 3 opções, temos 1/3 de chance de escolher a porta com o carro e 2/3 de chance de escolher cabras. Até agora nenhuma novidade, apenas o bom e velho (número de casos)/(número total de opções). Vamos analisar então o que acontece conforme o andar do jogo e quais são nossas chances de vitória caso mudassemos a nossa escolha inicial.

     1               2              3
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Suponhamos, para facilitar a visualização dos dados, que tenhamos escolhido a porta 1 inicialmente. Para ilustrar, pintarei de laranja a porta escolhida e de azul a porta que será aberta em seguida. Dentro das portas escreverei "P" para prêmio e "C" para cabra em cada um dos possíveis rumos do jogo. Vamos conhecer quais são os três caminhos possíveis.

Caso I -) Escolhemos a porta 1 e a distribuição atrás delas é: P - C - C.

     1               2              3
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|   P    |     |   C    |    |   C    |
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Com isso, o apresentador tem como opção abrir a porta 2 ou 3 (pintei a porta dois, mas seria a mesma coisa com a porta 3). Em seguida decidimos mudar para a porta que sobrou e acabamos encontrando a cabra. Portanto, nessa ocasião, perderíamos o jogo. Caso I - Derrota

Caso II-)

     1               2              3
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|   C    |     |   P    |    |   C    |
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Neste caso, o apresentador pode abrir apenas a porta 3, pois ele nunca abrirá uma porta que contenha o prêmio. Ao mudarmos de porta, estaremos então escolhendo a porta com o carro, ganhando o jogo. Caso II - Vitória

Caso III-)

     1               2              3
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|         |     |         |    |         |
|   C    |     |   C    |    |   P    |
|         |     |         |    |         |
|         |     |         |    |         |
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Nesse último caso possível vemos que novamente o apresentador possui apenas uma opção de porta para abrir. Com isso, como no Caso II, mudando de porta estamos trocando a cabra pelo prêmio e ganhando o jogo! Caso III - Vitória

Se contarmos agora em quantas das possibilidades ganhamos e em quantas perdemos, chegamos à conclusão de que nossa escolha inicial era correta em apenas 1/3 dos casos, mas que ao decidirmos mudar aumentamos nossa chance de vitória para 2/3! 

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