Somando os números naturais

Matemática Teoria dos Números Operações Teoria dos Números Geral Média Ensino Médio

Se alguém lhe perguntasse qual o resultado da soma de todos os números naturais, ou seja, 1+2+3+4+5+6..., qual seria sua resposta?

Se esta é a primeira vez que você aborda esse assunto, provavelmente sua resposta inicial seria infinito. Porém, mostrarei nesse artigo que a resposta é um tanto quanto surpreendente!

Inicialmente chamarei de S essa soma, então:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +...

E para podermos chegar a uma resposta conclusiva, precisamos de algumas outras somas auxiliares. A primeira delas chamarei de S1, em que:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

Irei demonstrar o resultado de S1 no final, mas, por hora, vamos pensar que se "parassemos" essa soma em uma quantidade par de números (ex: 1 - 1 + 1 - 1) teriamos o resultado 0, se "parassemos" em uma quantidade ímpar (ex: 1 - 1 + 1) teriamos resultado 1. Ou seja, esse resultado alterna entre 1 e 0, assim podemos pensar que o resultado no infinito é a média 1/2. Então:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1/2

A segunda soma auxiliar que usarei será chamada de "S2", em que:

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ....

A primeira vista, não há como saber o resultado desta soma, mas veja o que acontece ao somarmos ela com ela mesma:

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 ...
+ S2 = (1 - 2 +3 - 4 +5 - 6 + 7 ...)
-----------------------------------------------------
2 S2 = 1 - 1 + 1 - 1 +1 -1 +1 - 1...
2 S2 = S1

E como vimos antes, S1 = 1/2, logo:

2 S2 = 1 / 2
S2 = 1 / 4.

Estamos quase chegando ao final da demonstração, agora voltemos à soma mais importante, S, e vamos ver o que acontece quando operamos S - S2:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...
S2=-(1 - 2 + 3 - 4 +5 - 6 + 7 - 8 ...)

S - S2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + ...(Cuidado com o sinal de menos em S2 quando estiver efetuando esta conta)

Se colocarmos 4 em evidência no resultado temos:

S - S2 = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + ...) -

Excluí aqui as somas triviais com 0. E podemos também fazer outras substituições!

Anteriormente vimos que S2 = 1/4. Além disso, a soma que nos surgiu entre parênteses é exatamente a soma S. Substituindo tudo, temos:

S - 1/4 = 4S

3S = - 1/4

S = - 1/12

Como podemos ver, o resultado da soma de todos os números naturais, infinitamente, é - 1/12. Por mais incrível que pareça e bastante contra intuitivo, este resultado tem aplicações muito úteis por exemplo, em física quântica. Lembrando que algumas das operações feitas neste artigo só são possíveis por que estamos trabalhando com somas infinitas!

Gostou do artigo? Fique ligado para o próximo =D

------------

EXTRA

Vamos dar uma olhada a mais na soma S1 e entendê-la trabalhando-a de outra forma.

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Vamos ver o que obtemos se subtrairmos S1 de 1 em ambos os lados, .

1 - S1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...) - Trocando o sinal dos números dentro dos parênteses:

1 - S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Porém, como estamos trabalhando com uma quantidade infinita de números, o resultado, mesmo depois desta operação, continua sendo S1, então:

1 - S1 =S1

2 S1 = 1

S1 = 1/2