IN BEHALF OF ou ON BEHALF OF

On behalf of someone (Em nome de alguém)

em nome de alguém (representando alguém)

Exemplo:

Don’t worry on my behalf. (instead of me)
I am proud to accept this award on behalf of Georgina who is unable to be with us today. (that means ..I accepted an award for her because she could not make it to the ceremony but I”ll give it to her)
(related to contract)

Não se preocupe em meu nome. (em vez de mim)
Tenho orgulho de receber este prêmio em nome de Georgina, que não pode estar conosco hoje. (isso significa que ... aceitei um prêmio por ela porque ela não pôde comparecer à cerimônia, mas vou dar a ela)
(relacionado ao contrato)

In behalf of someone (Em nome de alguém)

para favorecer alguém (para beneficiar / em benefício de / a fim de ajudar alguém)

Exemplo:

We raised money in behalf of the orphans. (for the orphans)
See both in the same sentence.
They are collecting on behalf of (representing) the charity which is seeking funds in behalf of (to favour) its cause.

Arrecadamos dinheiro em nome dos órfãos. (para os órfãos)
Veja ambos na mesma frase.
Eles estão cobrando em nome de (representando) a instituição de caridade que está buscando fundos em nome de (para favorecer) sua causa.