INTRODUÇÃO
A noção de de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos os conceitos matemáticos.Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por Exemplo:
S= { São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espirito Santos} - É o conjunto dos estados do sudeste do Brasil.
B: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,....} - Conjuntos com elementos de números primos. e assim por diante.
Um conjunto é formado por elementos . Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A, logo dizemos que a pertence a A, escreve-se
Caso contrário dizemos que a não pertence a A, escreve-se
PROPRIEDADES, CONDIÇÕES E CONJUNTOS
Consideremos a propriedade p:
p: x é um número natural impar.
Esta propriedade pode ser expresssa da seguinte forma pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...}
Consideremos agora condição c.
c: x é um número inteiro que satisfaz a condição , pois
e
Esta condição pode ser experessa pelo conjunto A = { -2, 2}
Neste caso , também é indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que .
É mais simples trabalhar conjuntos do que com propriedades e condições. Além disso, podemos definir relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso seria muito díficil.
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais quando possuem os memso elementos. Por exemplo se A = { Números Naturais Pares} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 12,....}; Entao ;
Se A não é igual a B, então A é diferente de B, escreve-se
CONJUNTOS VAZIO, UNITÁRIO E UNIVERSO
A notação para conjunto vazio é , sendo uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Exemplo
{Números naturais impares menores que 1} = { é um número natural impar menor que do que 1} =
Pois não há número natural impar menor do que 1.
Sendo assim o conjunto vazio não possui elementos, podendo ser representado também por { }.
Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento:
Exemplo : {Números naturais pares e primo} = { é um número natural par e primo} = {2}
Porque o 2 é o unico número natural par e primo.
Obs: O conjunto é diferente {
}, pois {
} é um conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio..
Um conjunto importante é o conjunto universo , é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado asssunto. Fixado o universo
, todos os elementos pertencem a
, e todos os conjuntos são partes de
;
É importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se é o conjunto dos numeros naturais então a equação
, não tem solução, porém se
é o conjunto dos números inteiros então a equação
, faz sentido pois tem solução
SUBCONJUNTOS E A RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Consideramos dois conjuntos A e B, se todos elementos de A forem tambḿe elementos de B, dizemos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda que A é parte de B, indiciaremos esse fato por .
Pode se dizer também B A, se lê B contém A.
Se A não for subconjunto de B, escrevemos
Relação de inclusão
A relação chama-se relação de inclusão. são casos raros de particulares de extremos de inclusão:
A relação de inclusão possui três propriedades básicas. Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determinado , temos:
A propriedade anti-simétrica é sempre usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais, para provar que , basta provar que
e
, sendo a propriedade transitiva fundamental para deduções, na lógica denomina-se SILOGISMO.
Por Exemplo
|
Todo paulista é brasileiro todo brasileiro é sul-americano Entao, todo paulista é sul-americano Se |
Relação de inclusão e implicação lógica
Sabendo que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Consideremos um conjunto A de um universo e que possue propriedade p.
E B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que propriedade q. quando dizemos que:
( p implica em q). então dizemos
.
Recíproca de uma implicação lógica e equivalência.
Dado a implicação chamamos sua reciproca a implicação
, nem sempre a reciproca de uma implicação verdadeira é também verdadeira.
Consideremos no universo dos quadriláteros, as propriedades
Neste caso A é o conjunto de losangos e B o conjunto dos paralelogramos e, portanto , logo
ou seja , ser losango implicar ser paralelogramo ou ainda, se um quadrilátero é losango, então é paralelogramo.
Mas sua recíproca é falsa , pois nem todo paralogramo é losango.
CONJUNTO DAS PARTES
Dado o conjunto A = {a, e,i} é possível escrever todos subconjuntos (ou todas partes) de A. Esse conjunto formado por subconjuntos de A é chamados de conjunto das partes de A indicado por P(A).Assim, temos
P(A) = [, {a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, {a,e,i}]
Observe que{a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, {a,e,i}, por exemplo são elementos de P(A), portanto escrevemos {a} P(A), {a,e }
P(A) e {a,e,i}
P(A) e não {a}
P(A), {a,e }
P(A) e {a,e,i}
P(A).
Veja P(A) e
P(A).
E há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A.
Lembre-se que ;
;
;
.
Possível conjecturar que se A tem n elementos P(A)= , essa conjectura somente é verdadeira se puder demonstrar posteriormente.
COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO
Dado o universo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação
é {0,2,4,6,8,9}, ou seja é o conjunto formado pelos elementos de
que não pertence a A.
complementar de um conjunto só tem sentido quando fixamos um conjunto universo .
De modo Geral, dado um conjunto A de um certo unerso , chama-se complementar de A em relação a
conjunto formado pelos elementos de
que não pertencem a A: indica-se
ou
ou
.
Logo, = {
e
}
Uma vez considerando o conjunto A para cada elemento x
, vale uma, e somente uma das propriedades x
A, as alternativas x
A e x
A não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, principio de não-contradição.
Propriedades
É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades a partir dos princípios acima:
Desse princípios acimas podemos tirar as seguintes propriedades:
Escrevendo de outra forma:
3 . A B e
são equivalentes, ou seja,
, veja a demonstração
Aplicando a propriedade 1 em 2 , temos
Podemos afirmar A esta'contido em B e complementar de B está contido no complementar de A são equivalentes.
CONTRA-POSITIVA
Já vimos que , se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que é o meso que dizer que
Vamos representar por p' a negação de p e por q' a negação de q. Assim dizer que um objeto x goza da propriedade p' significa afirmar que x não goza da propriedade de p. Dessa forma, podemos escrever a equivalência. :
da seguinte maneira:
se, e somente se
ou seja, implicação é equivalente a esta outra implicação
(a negação de q implica a negação de p)
| A implicação |
OPERAÇÃO COM CONJUNTOS
Diferença
Dados os conjuntos A = {0, 1,3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90} podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertence a B. Assim C= {0, 3, 6, 8}
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por .
De modo geral, escrevemos:
={
e
}
Observe que , a diferença de
é igual complentar de
em B
Reunião ou União
Dados os conjuntos A = {0, 10, 20, 30, 50} e B {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A e B ou ambos. Assim C = {0, 10,,20, 50,40, 50, 60}
O conjunto C é chamado reunião ou união de A e Bindicado por , de modo geral dois conjuntos formados por elementos de A e B:
= {
e
}
Intersecção
Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b} podemos escrever o conjunto C formados por elementos simultaneamentes a A e B, ou seja elementos em comum C = {a, e, u};
O conjunto C é chamado de intersecção de A e B, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos que pertecem tanto em A e B.
= {
e
}
Propriedades de Reunião e Intersecção
| Comutativa |
|
| Associativa |
|
| Distributiva |
|
| 4º propriedade |
|
| 5º propriedade |
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