(2p) Encontre a soluc¸ao da seguintes equac¸ ˜ oes de difere

Question

(2p) Encontre a soluc¸ao da seguintes equac¸ ˜ oes de diferenc¸a, usando recorr ˜ encias: ˆ x(n + 1) − 1 2 x(n) = 2, x(0) = 1 2. (2p) Usando o metodo de coeficientes a determinar e encontre uma soluc¸ ´ ao particular de ˜ x(n + 1) − x(n) = sin(nπ/2) 3. (2p) Mostre: ”Seja X(z) a transformada Z de {xn}, com raio de convergencia ˆ R. Se a transformada Z{xn} existe entao: ˜ Z{xn+k} = z k [X(z) − X k−1 n=0 xnz −n ], para |z| > R”para o caso particular k = 2 4. (2p) Use a transformada Z para encontrar uma soluc¸ao da equac¸ ˜ ao a diferenc¸as: ˜ fn+2 = fn+1 + fn, fo = 0, f1 = 1 5. (2p) Use o metodo de s ´ erie de pot ´ encias para encontrar uma soluc¸ ˆ ao de: ˜ an+1 = an + n, ao = 0

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver cada questão de forma individual:

Equação de Diferença:

A equação é dada por $x (n + 1) - \frac{1}{2} x (n) = 2$ com a condição inicial $x (0) = 1$ .

Esta é uma equação de diferenças de primeira ordem não homogênea. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:

x_{h} (n + 1) - \frac{1}{2} x_{h} (n) = 0 .

A solução característica é $x_{h} (n) = C {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Agora, procuramos uma solução particular $x_{p}$ da equação completa. Podemos tentar uma solução constante: $x_{p} (n) = A$ . Substituindo na equação original, obtemos:

A - \frac{1}{2} A = 2 ⟹ \frac{1}{2} A = 2 ⟹ A = 4 .

Assim, a solução geral é a soma da homogênea e particular:
$x (n) = C {(\frac{1}{2})}^{n} + 4 .$

Utilizando a condição inicial $x (0) = 1$ :
$C \cdot 1 + 4 = 1 ⟹ C = - 3 .$

A solução final é:
$x (n) = - 3 {(\frac{1}{2})}^{n} + 4 .$

Método de Coeficientes a Determinar:

A equação é $x (n + 1) - x (n) = \sin (\frac{n π}{2})$ .

Se tentarmos uma solução particular da forma $x_{p} (n) = A \sin (\frac{n π}{2}) + B \cos (\frac{n π}{2})$ , veremos que os termos $\sin (\frac{n π}{2})$ são periodicamente $0, 1, 0, - 1, \dots$ e $\cos (\frac{n π}{2}) = 1, 0, - 1, 0, \dots$ .

Substituímos no lado esquerdo da equação e igualamos ao lado direito para encontrar os coeficientes $A$ e $B$ .

Transformada Z $k = 2$ :

O teorema diz que para $Z {x_{n + k}} = z^{k} [X (z) - \sum_{n = 0}^{k - 1} x_{n} z^{- n}]$ , queremos mostrar isso para $k = 2$ .

Quando $k = 2$ , temos: [ Z{x_{n+2}} = z^2 [X(z) - x_0 - x_1z^{-1}]. ]

A Transformada Z desloca a sequência em $n$ , e comprovamos essa identidade desenvolvendo cada termo.

Equação de Diferença com Transformada Z:

A equação é $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$ com condições iniciais $f_{0} = 0$ e $f_{1} = 1$ .

Aplicando a Transformada Z:
$Z {f_{n + 2}} - z^{2} f_{0} - z f_{1} = Z {f_{n + 1}} - z f_{0} + Z {f_{n}} .$

Substituindo $f_{0}$ , $f_{1}$ e resolvendo em termos de $F (z)$ , encontramos a expressão fechada para a Transformada Z e fazemos a anti-transformação para obter a solução na sequência temporal.

Séries de Potências:

A equação é $a_{n + 1} = a_{n} + n$ com condição inicial $a_{0} = 0$ .

Realizamos uma análise em série de potências onde $a_{n}$ é expandido como uma série. Substituímos a expressão de série na equação e determinamos os coeficientes de potência correspondentes a cada termo.

Esses passos fornecem uma solução completa para cada problema utilizando as técnicas adequadas de matemática discreta e transformadas.

(2p) Encontre a soluc¸ao da seguintes equac¸ ˜ oes de difere

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