Calculo iv area da superficie

Trata-se de uma integral de superífice.

A área é dada pela integral de superfície de dS .  Há várias formas de calcular dS.

Uma delas é usando a expressão  dS=dxdy/|n.k|   , sendo n o vetor normal à superfície.

O vetor normal n= grad(F)/|grad(F)|  onde F = z^2-x^2-y^2.  O sinal na frente do vetor normal não importa pq será calculado o módulo do produto escalar dele por k.

temos, n=(-2x,-2y,2z)/sqrt(4x^2+4y^2+4z^2) onde z^2=x^2+y^2. Fazendo as contas chegamos 

Trata-se de uma integral de superífice.

A área é dada pela integral de superfície de dS .  Há várias formas de calcular dS.

Uma delas é usando a expressão  dS=dxdy/|n.k| , projetando a região no plano xy , sendo n o vetor normal à superfície. No nosso caso, k=(0,0,1).

A superfície é de um cone, voltado para cima, e queremos a área situada entre os planos z=0 e z=1.

O vetor normal n= grad(F)/|grad(F)|  onde F = z^2-x^2-y^2.  O sinal na frente do vetor normal não importa pq será calculado o módulo do produto escalar dele por k.

temos, n=(-2x,-2y,2z)/sqrt(4x^2+4y^2+4z^2) onde z^2=x^2+y^2, pois z=sqrt(x^2+y^2). Fazendo as contas chegamos, |n.k|=1/sqrt(2).

Assim, S=integral de superfície de dS = integral dupla dxdy/|n.k|=integral dupla sqrt(2)dxdy = sqrt(2) x área do círculo de raio 1 (projeção do cone no plano xy) = sqrt(2) x pi (1)^2 = pi x sqrt(2).

Isso coincide com a fórmula do ensino médio da superfície de um cone = pi r g , sendo g a geratriz e r o raio da base do cone. No nosso caso, r=1 e g=sqrt(2).

Qualquer dúvida pode entrar em contato pelo whatsapp (21) 996318344.

Att,

Edson