G.thomas vol 2 exercício 8.5.47

Para estimar a magnitude do erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos para aproximar a série inteira, podemos usar o Teste de Alternância.

O Teste de Alternância estabelece que, se uma série alternada satisfaz duas condições, então a soma dos primeiros n termos da série é uma estimativa próxima do valor real, com erro absoluto menor ou igual ao valor absoluto do (n+1)-ésimo termo ignorado.

As duas condições são:

1. Os termos da série são alternadamente positivos e negativos (ou seja, têm um sinal alternado).
2. Os valores absolutos dos termos da série formam uma sequência decrescente.

A série dada satisfaz essas duas condições, então podemos usar o Teste de Alternância para estimar o erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos.

Vamos calcular o valor absoluto do quinto termo da série:

|(-1)^6 [(0,01)^6/6]| = [(0,01)^6/6] = 1,653439153 × 10^-10

Como os valores absolutos dos termos da série formam uma sequência decrescente, podemos afirmar que o valor absoluto do erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos é menor ou igual a esse valor.

Portanto, a magnitude do erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos para aproximar a série inteira é menor ou igual a 1,653439153 × 10^-10.

 

Para estimar a magnitude do erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos para aproximar a série inteira, podemos usar o Teorema do Resto de Taylor. A série fornecida é uma série alternada e converge pelo Teste da Série Alternada. A série é: Sigma((-1)^(n+1) * (0.01)^n / n) de n=1 até ? O erro da aproximação usando os 4 primeiros termos é limitado pelo valor absoluto do 5º termo da série, uma vez que a série é alternada. Então, precisamos encontrar o 5º termo da série: Termo 5 = ((-1)^(5+1) * (0.01)^5 / 5) = (1 * 0.000001 / 5) = 0.0000002 Portanto, a magnitude do erro ao usar a soma dos 4 primeiros termos para aproximar a série inteira é limitada por 0.0000002, ou seja, 2 × 10^(-7).