No cálculo integral, como posso demonstrar que ?(a^x)dx = [(a^x)/lna] + C

É só levar em conta as propriedades do logaritmo. Você pode escrever a^x como: a^x = e^[ln(a^x)] = e^(x.lna) e fazer: y = x.lna ...(1) Assim: a^x = e^y Na integral: int(a^x)dx = int(e^y)dx ...(2) devemos expresar dx em função de y; de (1): dy = dx.lna Em (2): int(a^x)dx = int(e^y)dy/lna = (1/lna)*int(e^y)dy e como a primtiva de e^y é e^y, temos o seguinte: int(a^x)dx = (1/lna)*e^y mas como foi feito antes: a^x = e^y, assim, finalmente: int(a^x)dx = [(a^x)/lna]