Quais são as dimensões do caixote com o maior volume?

Um caixote retangular sem tampa tem uma superfície de 216 cm2 . Quais são as dimensões do caixote com o maior volume?

Arestas da base=x,y

altura=z

Area=xy+2xz+2yz=216

Restrição g(x,y,z)=xy+2xz+2yz-216=0

Volume=f(x,y,z)=xyz (função a ser maximizada)

Usando multiplicadores de Lagrange:

x=y

y=2z

Assim, temos x=y=2z

Substituindo na restrição:

xy+2xz+2yz-216=0

2z.2z+2.2z.z+2.2z.z=216

(ignoramos a solução negativa)

Assim, x=y=z/2

Obs. Se o problema disser que a base da caixa é quadrada, há outra maneira de resolver:

Arestas da base=x

Altura=z

(igualamos a zero para achar os pontos críticos)

Para verificar que é um máximo:

Assim, a derivada segunda será negativa para qualquer valor positivo de x, então teremos um máximo.

Assim: