Será que é alguma das repostas?

Olá, Ronaldo Barbosa!

O método de Newton-Raphson é um método iterativo para a determinação de raízes de funções, cuja fórmula característica é: 

x_n+1 = x_n - [f(x_n)/f'(x_n)]     EQ (01) 

Cuja estimativa de erro é: E = |x_n+1 - x_n| 

Considerando que: 

f(x) = 2x^2 + sin(x) - 10     EQ (02) 

Então, aplicando a derivada em relação a x, fica: 

f(x) = 2x^2 + sin(x) - 10   => 

=>   f'(x) = 2*(2x) + cos(x) - 0   =>   f'(x) = 2*(2x) + cos(x) - 0   =>    f'(x) = 4x + cos(x)     EQ (03) 

Substituindo as EQs (02) e (03) na EQ (01), temos: 

x_n+1 = x_n - [f(x_n)/f'(x_n)]   =>   x_n+1 = x_n - [(2x^2 + sin(x) - 10)/(4x + cos(x))]   => 

x_n+1 = x_n - [(2x_n² + sin(x_n) - 10)/(4x_n + cos(x_n))]     EQ (04) 

Para n=0 e chute inicial para a raiz é x₀ = 3,000, a EQ (04) fica: 

x_n+1 = x_n - [(2x_n² + sin(x_n) - 10)/(4x_n + cos(x_n))]   =>   x₁ = x₀ - [(2x₀² + sin(x₀) - 10)/(4x₀ + cos(x₀))]   => 

x₁ = 3,000 - [(2*(3,000)² + sin(3,000) - 10)/(4*(3,000) + cos(3,000))]   =>   x₁ = 2,37328 

Logo, o erro será: 

E_n+1 = |x_n+1 - x_n|   =>   E₁ = |x₁ - x₀|   =>    E₁ = |2,37328 - 3,000| = |-0,6762| = 0,6762   =>   E₁ = 0,6762 > 0,010 

Realizando outras iterações, temos: 

x₀ = 3,000 

x₁ = 2,37238   =>   E₁ = 0,6762 > 0,010 

x₂ = 2,26057   =>   E₂ = 0,1118 > 0,010 

x₃ = 2,14259    =>   E₃ = 0,1180 > 0,010 

x₄ = 2,13981   =>   E₄ = 0,0028 < 0,010 !!!

x₅ = 2,13981 

A solução aproximada da função, que corresponde à raiz desta função, determinada pelo método de Newton-Raphson, com erro menor que 0,010 é:

x = 2,140 

Observação: Cuidado quando for resolver problemas e exercícios matemáticos que apresentem funções (ou termos da função) trigonométricos, tais como seno, cosseno, tangente, etc. A calculadora científica deve ser operada de acordo com a unidade (graus, ou radianos). Neste caso, operacionamos com radianos! 

Bons estudos!!

=D