Poderia me explicar como resolvo essa questão

Question

Uma esfera de massa igual a m1=6 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e prende-se à extremidade de uma mola de massa desprezível e constante elástica igual a 472 N/m. A outra extremidade da mola está presa a um suporte fixo, conforme mostra a figura abaixo. Inicialmente a esfera encontra-se em repouso e a mola no seu comprimento natural. A esfera é então atingida por um pêndulo de massa m2=13 kg, que cai de uma altura h=5 m. Suponha que a colisão entre as esferas seja elástica.

a) Qual a altura máxima alcançada pela esfera de massa m2 após a colisão? Escreva o valor no espaço disponível, sem incluir as unidades. Utilize ponto no lugar de vírgula para separar casas decimais. 6.8 cm 67.9 cm 24.4 cm 44.1 cm 57.7 cm

Mônica A. · Accepted Answer

Oi Débora,   Espero que ajude. se precisar é só entrar em contato. https://drive.google.com/file/d/16za-palnz_uOOdE9NnvIWHM4S9jeYW1I/view

Henrique N. · Answer

Olá, Debora!

Como você não incluiu a ilustração, vou supor que o fio do pêndulo está preso a um ponto que está verticalmente alinhado com a esfera de massa $m_1$ , que chamaremos de $E_1$ . Isto implicará que, no momento imediatamente anterior ao choque, a esfera de massa $m_2$ , que chamaremos de $E_2$ e é parte do pêndulo, terá sua velocidade toda na direção horizontal, sem nenhuma componente vertical. Além disso, suporei que o sistema mass-mola de $E_1$ está preso a uma parede a sua esquerda, e $E_2$ está à direita.

Temos, aqui, 4 instantes de tempo que cabe destacar:

1 - Sistema em repouso, com $E_1$ parada no chão e $E_2$ em repouso a uma altura $h_1 = 5$

2 - Esfera $E_2$ já em queda livre e na iminência de colidir com $E_1$ , que está parada. Neste caso, $E_2$ está no nível do solo $(h_2 = 0)$ .

3 - Instante imediatamente posterior à colisão. $E_1$ começa a se deslocar para a esquerda, e $E_2$ , para a direita. $E_2$ começa a fazer o movimento de volta, subindo com o pêndulo.

4 - $E_2$ atinge sua altura máxima. Podemos ainda definir um instante 4', em que $E_1$ comprime a mola ao máximo. Não nos interessa saber, aqui, se 4' vem antes ou depois de 4.

Utilizaremos aqui dois Princípios de Consevação: o da Energia Mecânica e o do Momento Linear.

Sabemos que, para um dado sistema, sua energia mecânica $E_m$ é dada por

$E_m = E_{pg} + {E_p}_{el} + E_c$ , onde

$E_{pg}$ é a energia potencial gravitacional, ${E_p}_{el}$ é a energia potencial elástica e $E_c$ é a energia cinética. Lembramos que, se o corpo em questão tem massa $m$ , velocidade $v$ , está preso a uma mola de deformação $x$ e está a uma altura $h$ , valem as fórmulas:

$E_{pg} = mgh$ , ${E_p}_{el} = \frac{kx^2}{2}$ , $E_c = \frac{mv^2}{2}$ ,

onde $k$ é a constante elástica da mola e $g$ é a constante gravitacional.

Calcularemos a energia mecânica do sistema em 1 e 2, que sabemos ser igual nestes dois instantes. Na nossa notação, por exemplo, ${E_c}_{(1,2)}$ denotará a energia cinética do sistema mola+esfera $E_1$ no instante 2. Vamos lá:

${E_m}_1 = {E_m}_{(1,1)} + {E_m}_{(2,1)} = 0 + {E_{pg}}_{(2,1)} = m_2gh_1$ , onde sabemos que o sistema massa-mola está em repouso, relaxado e ao nível do chão (energia mecânica nula) e o sistema do pêndulo possui apenas a energia potencial gravitacional. Em seguida, vemos que

${E_m}_2 = {E_m}_{(1,2)} + {E_m}_{(2,2)} = 0 + {E_{c}}_{(2,2)} = \frac{m_2{v_{(2,2)}}^2}{2}$ . Aqui, consideramos o sistema massa-mola ainda em repouso, e o sistema do pêndulo já no nível do chão (energia potencial gravitacional nula), contando apenas com energia cinética.

Como ${E_m}_1 = {E_m}_2$ , então

$m_2gh_1=\frac{m_2v_{(2,2)}^2}{2} \Rightarrow v_{(2,2)} = \sqrt{2gh_1}$ (A)

Agora, calculamos a energia mecânica no instante 3.

${E_m}_3 = {E_m}_{(1,3)}+ {E_m}_{(2,3)} = {E_c}_{(1,3)} + {E_c}_{(2,3)} = \frac{m_1v_{(1,3)}^2}{2} + \frac{m_2v_{(2,3)}^2}{2}$ , onde usamos o fato de que, logo após a colisão, restam apenas as energias cinéticas das esferas.

Para o instante 3, devemos ter também a conservação da energia mecânica em relação ao instante anterior, dado que a colisão é elástica. Ou seja,

${E_m}_3 = {E_m}_2 = {E_m}_1 \Rightarrow \frac{m_1v_{(1,3)}^2 + m_2v_{(2,3)}^2}{2} = m_2gh_1$ , ou seja,

$v_{(1,3)}= \sqrt{\frac{m_2(2gh_1-v_{(2,3)}^2)}{m_1}}$ (B).

Precisamos, ainda, estudar os momentos lineares antes e depois da colisão (instantes 2 e 3).

Lembrando que, para um corpo de massa $m$ e velocidade $v$ , seu momento linear $Q$ é dado por $Q = mv$ e que as direções relativas importam (ou seja, velocidades orientadas para a direita, por exemplo, têm sinal oposto àquele de velocidades orientadas para a esquerda), se considerarmos que a orientação positiva é da esquerda para a direita, temos:

$Q_2 = Q_{(1,2)} - Q_{(2,2)} = 0-m_2v_{(2,2)}$ , pois sabemos que $v_{(1,2)} = 0$ . Além disso,

$Q_3 = -Q_{(1,3)} + Q_{(2,3)} = -m_1v_{(1,3)} + m_2v_{(2,3)}$ . Assim, pela Conservação do Momento Linear, temos

$Q_2 = Q_3 \Rightarrow -m_2v_{(2,2)} = -m1v_{(1,3)} + m_2v_{(2,3)} \Rightarrow v_{(1,3)} = \frac{m_2(v_{(2,3)} - v_{(2,2)})}{m_1}$ (C).
Para concluir, precisamos encontrar a altura final do pêndulo. Para isso, consideraremos apenas a energia mecânica do sistema pendular nos instantes 3 e 4. Isto é quase que o equivalente a inverter o processo que fizemos entre os instantes 1 e 2:

${E_m}_{(2,3)} = {E_c}_{(2,3)} = \frac{m_2v_{(2,3)}^2}{2} = m_2gh_4 = {E_{pg}}_{(2,4)} = {E_m}_{(2,4)}$ . Assim, temos que $h_4 = \frac{v_{(2,3)}^2}{2g}$ (D).

Precisamos apenas descobrir quanto vale $v_{(2,3)}$ , e faremos isso substituindo os valores do enunciado ao longo dos resultados que fomos descobrindo ao longo da resolução. Temos que $m_1 = 6$ , $m_2 = 13$ e $h_1 = 5$ . Assumiremos também que $g=10$ .

Já vemos, assim, por (A), que $v_{(2,2)} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10$ . Isto já implica, utilizando (C), que

$v_{(1,3)} = \frac{13(v_{(2,3)}-10)}{6}$ . Agora, a partir disto e de (B), temos

$\frac{13(v_{(2,3)}-10)}{6} = \sqrt{\frac{13(2\times 10 \times 5-v_{(2,3)}^2)}{6}} \Rightarrow \frac{13^2(v_{(2,3)}-10)^2}{6^2} = \frac{13(100-v_{(2,3)}^2)}{6} \Rightarrow \frac{13(10-v_{(2,3)})^2}{6} = 10^2-v_{(2,3)}^2 = (10-v_{(2,3)})(10+v_{(2,3)})$

Simplificando, temos

$13(10-v_{(2,3)}) = 130-13v_{(2,3)} = 60+ 6v_{(2,3)} = 6(10+v_{(2,3)})$ , ou seja,

$19v_{(2,3)} = 70 \Rightarrow v_{(2,3)} = \frac{70}{19} \cong 3.68$ . Inserindo isso em (D), temos

$h_4 = \frac{3.68^2}{2\times 10} \cong 0.679$ . Isso nos dá, aproximadamente, 67.9 centímetros.

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