Relativismo

Question

Grande parte dos múons são criados a 15 km de altitude a uma alta velocidade da ordem 0,9998C. Sabendo que o tempo médio de vida de um múon é 2,0Mc. Explique a existência ou não de múons na superfície terrestre. Prove seu argumento

Profes A. · Accepted Answer

Para entender a presença de múons na superfície terrestre, precisamos considerar os efeitos da relatividade especial, especificamente a dilatação do tempo.

Os múons são partículas subatômicas instáveis que têm um tempo médio de vida em repouso ( $τ_{0}$ ) de aproximadamente 2,0 microssegundos ( $μ s$ ). Quando criados a 15 km de altitude, eles viajam a uma velocidade próxima da velocidade da luz, cerca de $0, 9998 c$ .

Sem considerar a relatividade, o múon não viajaria longe antes de decair. A distância que um múon viajaria em seu tempo de vida médio, considerando sua velocidade $v$ , seria:

d = v \times τ_{0} = 0, 9998 c \times 2, 0 μ s

= 0, 9998 \times 3 \times 10^{8} m / s \times 2 \times 10^{- 6} s

\approx 600 m

Isso é muito menos que os 15 km necessários para alcançar a superfície da Terra. Então, sem relatividade, a maioria dos múons não alcançaria a superfície.

No entanto, a teoria da relatividade especial de Einstein entra em ação. De acordo com a relatividade, o tempo de vida do múon dosado por um observador em repouso (na Terra) é dilatado devido à sua alta velocidade. A fórmula para a dilatação do tempo é:

τ = \frac{τ_{0}}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}

Substituindo os valores:

τ = \frac{2, 0 μ s}{\sqrt{1 - (0, 9998)^{2}}}

= \frac{2, 0 μ s}{\sqrt{1 - 0, 9996}}

= \frac{2, 0 μ s}{\sqrt{0, 0004}}

= \frac{2, 0 μ s}{0, 02}

= 100 μ s

Portanto, para um observador na Terra, o tempo de vida do múon é dilatado para cerca de 100 microssegundos. Agora, a distância que o múon pode percorrer durante esse tempo é:

d = v \times τ

= 0, 9998 c \times 100 μ s

= 0, 9998 \times 3 \times 10^{8} m / s \times 100 \times 10^{- 6} s

\approx 30 k m

Isso é mais do que suficiente para os múons viajarem dos 15 km de altitude até a superfície. Portanto, devido à dilatação do tempo, um número significativo de múons consegue atingir a superfície da Terra antes de decair, o que explica sua detecção aqui.

Jonas R. · Answer

Boa noite,

Para entender a existência de múons na superfície da Terra, precisamos considerar o conceito de dilatação do tempo, que é um fenômeno da relatividade especial de Einstein.

1. **Tempo de vida do múon**: O tempo médio de vida de um múon em repouso é de aproximadamente 2,0 microssegundos (µs). Porém, quando o múon se move a velocidades relativísticas, como 0,9998C (onde C é a velocidade da luz), o seu tempo de vida percebido aumenta devido à dilatação do tempo.

2. **Cálculo do fator de Lorentz (?)**: O fator de Lorentz é dado pela fórmula:

\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\]

Onde $ v = 0,9998C $. Substituindo, temos:

\[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,9998)^2}} \approx 70,7
\]

3. **Tempo de vida dilatado do múon**: O tempo de vida do múon em movimento, considerando a dilatação do tempo, é:

\[
\tau' = \tau \cdot \gamma = 2,0 \, \mu s \cdot 70,7 \approx 141,4 \, \mu s
\]

Isso significa que para um observador em repouso na Terra, um múon que viaja a essa velocidade terá um tempo de vida efetivo muito maior do que o seu tempo de vida em repouso.

4. **Distância percorrida pelo múon**: Agora, precisamos calcular a distância que um múon pode percorrer durante o seu tempo de vida dilatado. A velocidade do múon é $ 0,9998C $, então a distância percorrida é:

\[
d = v \cdot \tau' = 0,9998C \cdot 141,4 \, \mu s
\]

Substituindo $ C \approx 3 \times 10^8 \, m/s $:

\[
d \approx 0,9998 \cdot 3 \times 10^8 \times 141,4 \times 10^{-6} \approx

Espero ter ajudado!

Rendisley P. · Answer

Resolução:

Esse problema envolve conceitos da relatividade restrita, especificamente o dilatação do tempo. O tempo de vida de um múon em repouso é muito curto (apenas 2,0 microsegundos), o que parece insuficiente para que ele percorra uma distância de 15 km antes de decair. Entretanto, devido à alta velocidade dos múons, o efeito relativístico de dilatação do tempo permite que muitos deles sejam observados na superfície da Terra.

Passo 1: Cálculo do tempo de vida do múon no referencial terrestre

No referencial do múon em repouso, seu tempo de vida médio é de $\, \mu\text{s}$ . No entanto, do ponto de vista de um observador terrestre, o múon está viajando a uma velocidade relativística ( $v = 0, 9998 c$ ), o que causa a dilatação do tempo.

A dilatação do tempo é descrita pela equação:

$\gamma t_0$

onde:

$t^{?}$ é o tempo dilatado (no referencial terrestre, que é o tempo que o múon aparenta viver para o observador da Terra),
$t0=2,0??st_0 = 2,0 \, \mu\text{s}$ é o tempo próprio (no referencial do múon em repouso),
$?\gamma$ é o fator de Lorentz, dado por:

$?=11?v2c2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Sabemos que $v = 0, 9998 c$ , então:

$?=11?(0,9998)2=11?0,9996=10,0004=10,02=50\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,9998)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9996}} = \frac{1}{\sqrt{0,0004}} = \frac{1}{0,02} = 50$

Agora, podemos calcular o tempo dilatado:

$\gamma t_0 = 50 \times 2,0 \, \mu\text{s} = 100 \, \mu\text{s}$

Portanto, no referencial terrestre, o tempo de vida do múon é de 100 microsegundos.

Passo 2: Cálculo da distância percorrida pelo múon

Sabendo que o tempo de vida no referencial terrestre é $\, \mu\text{s}$ , podemos calcular a distância que o múon percorre durante esse tempo.

A distância $d$ é dada por:

$d = v t^{?}$

Substituímos os valores:

$\times 100 \times 10^{-6} \, \text{s}$

Lembrando que $\times 10^8 \, \text{m/s}$ , temos:

$\times 3 \times 10^8 \times 100 \times 10^{-6}$ $\approx 299,94 \times 10^2 = 29994 \, \text{m} \approx 30 \, \text{km}$

O múon, portanto, percorre uma distância de aproximadamente 30 km no referencial terrestre.

Passo 3: Comparação com a altitude de criação dos múons

Sabemos que os múons são criados a uma altitude de aproximadamente 15 km. Como calculamos que eles podem percorrer até 30 km antes de decaírem, muitos múons conseguem atingir a superfície terrestre.

Conclusão:

Devido ao efeito relativístico da dilatação do tempo, o tempo de vida dos múons aumenta significativamente no referencial terrestre. Isso permite que eles percorram distâncias muito maiores do que aquelas que seriam possíveis no referencial de repouso dos múons. Como resultado, muitos múons conseguem atingir a superfície da Terra, mesmo sendo criados a 15 km de altitude. Este é um exemplo claro da dilatação do tempo prevista pela relatividade restrita de Einstein.