1. De exemplo de uma série convergente ∑an e de uma sequência (xn) n E Naturais tais que ∑an xn é divergente.
A) (xn) é convergente
B) ∑an é absolutamente convergente
Para fornecer um exemplo de uma série convergente ?an e de uma sequência (xn) onde ?an xn é divergente, podemos considerar o seguinte:
A) Considere a série geométrica ?(1/2^n), onde n varia de 1 a infinito. Essa série é convergente porque é uma série geométrica com razão 1/2, que está entre -1 e 1. Portanto, a série ?(1/2^n) é convergente.
B) Agora, considere a sequência (xn) = (n), onde n varia de 1 a infinito. Essa sequência é uma sequência crescente de números naturais.
Agora, vamos considerar a série ?(an xn), onde an = (1/2^n) e xn = n.
?(an xn) = ?((1/2^n) * n)
Se tentarmos determinar a convergência ou divergência dessa série usando o teste da razão, obtemos:
lim(n??) |(an+1 xn+1) / (an xn)|
= lim(n??) |((1/2^(n+1)) * (n+1)) / ((1/2^n) * n)|
= lim(n??) |(n+1)/(2n)|
= 1/2
Portanto, a razão é 1/2, que é menor que 1. De acordo com o teste da razão, a série ?(an xn) é absolutamente convergente.
No entanto, como a sequência (xn) = (n) é uma sequência crescente de números naturais, a série ?(an xn) = ?((1/2^n) * n) é divergente. Isso ocorre porque, à medida que n aumenta, o termo an xn também aumenta, não tendendo a zero. Portanto, a série é divergente, apesar de ser absolutamente convergente.
Um exemplo de uma série convergente é a série geométrica de razão q tal que -1 < q < 1. Nesse caso, a soma dos termos da série é dada por:
onde é o primeiro termo da série.
Um exemplo de uma sequência divergente é a sequência definida por . Essa sequência não tem um limite, pois oscila entre -1 e 1.
Para que a série seja divergente, basta que a sequência seja divergente ou que a série não seja absolutamente convergente.
Uma resposta possível para as alternativas A e B é:
A) Falso. Se é convergente, então pode ser convergente ou divergente, dependendo da série . Por exemplo, se e , então é convergente. Mas se e , então é divergente.
B) Verdadeiro. Se é absolutamente convergente, então é convergente para qualquer sequência limitada. Isso é uma consequência do critério de comparação de séries absolutas.
Uma série é convergente quando a soma dos seus infinitos elementos tem um valor finito. Um exemplo é a série harmônica alternada:
Esta, por sua vez, não é absolutamente convergente. Repare que a soma de seus valores absolutos é igual a série harmônica normal:
que é divergente. Por outro lado, existe a série alternada dos inversos dos quadrados que é convergente:
e também absolutamente convergente: