Analise na reta i

Professor Samuel S.

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Respondeu há 11 meses

Para fornecer um exemplo de uma série convergente ?an e de uma sequência (xn) onde ?an xn é divergente, podemos considerar o seguinte:

A) Considere a série geométrica ?(1/2^n), onde n varia de 1 a infinito. Essa série é convergente porque é uma série geométrica com razão 1/2, que está entre -1 e 1. Portanto, a série ?(1/2^n) é convergente.

B) Agora, considere a sequência (xn) = (n), onde n varia de 1 a infinito. Essa sequência é uma sequência crescente de números naturais.

Agora, vamos considerar a série ?(an xn), onde an = (1/2^n) e xn = n.

?(an xn) = ?((1/2^n) * n)

Se tentarmos determinar a convergência ou divergência dessa série usando o teste da razão, obtemos:

lim(n??) |(an+1 xn+1) / (an xn)|
= lim(n??) |((1/2^(n+1)) * (n+1)) / ((1/2^n) * n)|
= lim(n??) |(n+1)/(2n)|
= 1/2

Portanto, a razão é 1/2, que é menor que 1. De acordo com o teste da razão, a série ?(an xn) é absolutamente convergente.

No entanto, como a sequência (xn) = (n) é uma sequência crescente de números naturais, a série ?(an xn) = ?((1/2^n) * n) é divergente. Isso ocorre porque, à medida que n aumenta, o termo an xn também aumenta, não tendendo a zero. Portanto, a série é divergente, apesar de ser absolutamente convergente.

Professora Ilze O.

Respondeu há 11 meses

Um exemplo de uma série convergente é a série geométrica de razão q tal que -1 < q < 1. Nesse caso, a soma dos termos da série é dada por:

Sn?=1?qa1??

onde a1? é o primeiro termo da série.

Um exemplo de uma sequência divergente é a sequência (xn?) definida por xn?=(?1)n. Essa sequência não tem um limite, pois oscila entre -1 e 1.

Para que a série ?an?xn? seja divergente, basta que a sequência (xn?) seja divergente ou que a série ?an? não seja absolutamente convergente.

Uma resposta possível para as alternativas A e B é:

A) Falso. Se (xn?) é convergente, então ?an?xn? pode ser convergente ou divergente, dependendo da série ?an?. Por exemplo, se an?=n1? e xn?=n1?, então ?an?xn? é convergente. Mas se an?=n?1? e xn?=n1?, então ?an?xn? é divergente.

B) Verdadeiro. Se ?an? é absolutamente convergente, então ?an?xn? é convergente para qualquer sequência (xn?) limitada. Isso é uma consequência do critério de comparação de séries absolutas.

Professor Bruno D.

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Respondeu há 11 meses

Uma série é convergente quando a soma dos seus infinitos elementos tem um valor finito. Um exemplo é a série harmônica alternada:

Esta, por sua vez, não é absolutamente convergente. Repare que a soma de seus valores absolutos é igual a série harmônica normal:

que é divergente. Por outro lado, existe a série alternada dos inversos dos quadrados que é convergente:

e também absolutamente convergente: