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Francisca há 1 ano
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Analise na reta i

1. De exemplo de uma série convergente ∑an e de uma sequência (xn) n E Naturais tais que ∑an xn é divergente.

A) (xn) é convergente

B) ∑an é absolutamente convergente 

Professor Samuel S.
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Para fornecer um exemplo de uma série convergente ?an e de uma sequência (xn) onde ?an xn é divergente, podemos considerar o seguinte:

A) Considere a série geométrica ?(1/2^n), onde n varia de 1 a infinito. Essa série é convergente porque é uma série geométrica com razão 1/2, que está entre -1 e 1. Portanto, a série ?(1/2^n) é convergente.

B) Agora, considere a sequência (xn) = (n), onde n varia de 1 a infinito. Essa sequência é uma sequência crescente de números naturais.

Agora, vamos considerar a série ?(an xn), onde an = (1/2^n) e xn = n.

?(an xn) = ?((1/2^n) * n)

Se tentarmos determinar a convergência ou divergência dessa série usando o teste da razão, obtemos:

lim(n??) |(an+1 xn+1) / (an xn)|
= lim(n??) |((1/2^(n+1)) * (n+1)) / ((1/2^n) * n)|
= lim(n??) |(n+1)/(2n)|
= 1/2

Portanto, a razão é 1/2, que é menor que 1. De acordo com o teste da razão, a série ?(an xn) é absolutamente convergente.

No entanto, como a sequência (xn) = (n) é uma sequência crescente de números naturais, a série ?(an xn) = ?((1/2^n) * n) é divergente. Isso ocorre porque, à medida que n aumenta, o termo an xn também aumenta, não tendendo a zero. Portanto, a série é divergente, apesar de ser absolutamente convergente.

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Professora Ilze O.
Respondeu há 1 ano
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Um exemplo de uma série convergente é a série geométrica de razão q tal que -1 < q < 1. Nesse caso, a soma dos termos da série é dada por:

onde é o primeiro termo da série.

Um exemplo de uma sequência divergente é a sequência definida por . Essa sequência não tem um limite, pois oscila entre -1 e 1.

Para que a série seja divergente, basta que a sequência seja divergente ou que a série não seja absolutamente convergente.

Uma resposta possível para as alternativas A e B é:

A) Falso. Se é convergente, então pode ser convergente ou divergente, dependendo da série . Por exemplo, se e , então é convergente. Mas se e , então é divergente.

B) Verdadeiro. Se é absolutamente convergente, então é convergente para qualquer sequência limitada. Isso é uma consequência do critério de comparação de séries absolutas.

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Professor Bruno D.
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Respondeu há 1 ano
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Uma série é convergente quando a soma dos seus infinitos elementos tem um valor finito. Um exemplo é a série harmônica alternada:

Esta, por sua vez, não é absolutamente convergente. Repare que a soma de seus valores absolutos é igual a série harmônica normal:

que é divergente. Por outro lado, existe a série alternada dos inversos dos quadrados que é convergente:

e também absolutamente convergente:

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Um exemplo de série convergente é ?(1/n^2) e um exemplo de sequência (xn) tal que ?an xn é divergente é xn = (-1)^n e ?an = ?(1/n). Note que a série ?an é divergente, mas a série ?|an| = ?(1/n) é absolutamente convergente.

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