Introdução
O Método de Indução Matemática é amplamente utilizado em vários ramos da matemática. Neste Blog vamos mostrar alguns dos problemas que podem ser resolvidos com este método.
Identidades e problemas aritméticos
Resolva exercícios e atividades acadêmicas
Problema 1: Encontre a soma dos primeiros números ímpares.
Solução: Indiquemos por a soma procurada
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Para problemas desse tipo, os matemáticos têm fórmulas prontas. Estamos interessados em resolver esse problema sem recorrer a essas fórmulas, usando o método de indução matemática. Para fazer isso, devemos desenvolver a hipótese, ou seja, adivinhar a resposta.
Com esse objetivo, tomamos para sucessivamente os valores
até obter material suficiente para poder enunciar uma hipótese mais ou menos correta. Depois, só será necessário demonstrá-la usando o método de indução matemática.
Temos
Agora tudo depende do espírito de observação, da capacidade de adivinhar o resultado geral a partir dos particulares. No nosso caso é evidente que
Com base nisso, podemos assumir que . Mostramos que esta hipótese está correta.
- Sendo
, a soma consiste em um adendo igual a
. A expressão
também é igual a
- Suponha que a hipótese seja válida para
, ou seja, que
. Mostremos que ela também deve ser válida para
, ou seja, que
. De fato
Mas
o que fecha nossa demostração.
Finalmente temos que .
Problema 2: Prove que a soma dos primeiros números naturais é igual a
.
Solução: Este problema difere do anterior porque a hipótese é dada e não precisa ser elaborada. Só é necessário provar a sua validade. Indiquemos por a soma procurada
- Para
- Suponha que
, temos que
. O que mostra que
.
Problema 3: Prove que se e
e se
para todo número natural
, então
.
Solução:
- Para
e
- Suponha que
e
então
.
Problema 4: Seja alem de
ou seja, para
. Mostre que
.
Solução: Vamos mostrar primeiro que a fórmula é válida para . Por hipótese,
Suponhamos agora que a formula é valida se , ou seja, que
De fato temos
ou seja que
.
