O Método Matemático de Indução

Introdução

O Método de Indução Matemática é amplamente utilizado em vários ramos da matemática. Neste Blog vamos mostrar alguns dos problemas que podem ser resolvidos com este método.

Identidades e problemas aritméticos

Problema 1: Encontre a soma dos primeiros números ímpares.

Solução: Indiquemos por a soma procurada

Para problemas desse tipo, os matemáticos têm fórmulas prontas. Estamos interessados ​​em resolver esse problema sem recorrer a essas fórmulas, usando o método de indução matemática. Para fazer isso, devemos desenvolver a hipótese, ou seja, adivinhar a resposta.

Com esse objetivo, tomamos para sucessivamente os valores até obter material suficiente para poder enunciar uma hipótese mais ou menos correta. Depois, só será necessário demonstrá-la usando o método de indução matemática.

Temos

Agora tudo depende do espírito de observação, da capacidade de adivinhar o resultado geral a partir dos particulares. No nosso caso é evidente que

Com base nisso, podemos assumir que . Mostramos que esta hipótese está correta.

1. Sendo , a soma consiste em um adendo igual a . A expressão também é igual a se . Ou seja, a hipótese é satisfeita se .
2. Suponha que a hipótese seja válida para , ou seja, que . Mostremos que ela também deve ser válida para , ou seja, que . De fato Mas então o que fecha nossa demostração.
   

Finalmente temos que .

Problema 2: Prove que a soma dos primeiros números naturais é igual a .

Solução: Este problema difere do anterior porque a hipótese é dada e não precisa ser elaborada. Só é necessário provar a sua validade. Indiquemos por a soma procurada

1. Para a hipótese é verdadeira.
2. Suponha que , temos que . O que mostra que .

Problema 3: Prove que se e e se  para todo número natural , então.

Solução: 

1. Para e a proposição é válida por hipótese.
2. Suponha que e então .

Problema 4: Seja alem de

ou seja, para . Mostre que

.                        

Solução: Vamos mostrar primeiro que a fórmula é válida para . Por hipótese,

Suponhamos agora que a formula é valida se , ou seja, que

De fato temos

ou seja que

.