Números inteiros

Introdução:

Problemas relacionados à Aritmética que apresentam dificuldades aos alunos são frequentes. Essas dificuldades são geralmente explicadas pelo fato de que Aritmética é estudada nas classes do ensino fundamental, onde muitos resultados são comunicados aos alunos sem demonstração. Esses problemas não serão retomados mais tarde, mas isso não diminui de forma alguma a importância de partes da aritmética como a divisibilidade dos números inteiros, as propriedades das frações, a teoria das proporções, etc.

O aluno tem que saber enunciados dos resultados correspondentes; Além disso, é preciso saber demonstrá-los: aqui pode-se levantar um problema relacionado, por exemplo, com a dedução deste ou daquele critério de divisibilidade. Estas demonstrações apresentam em si um exercício completamente viável para qualquer um que tenha dominado com sucesso o curso de Álgebra.

Vamos demonstrar, como exemplo, o critério de divisibilidade para 9. Seja o inteiro positivo . Aqui o símbolo significa um número de dígitos, onde são os respectivos algaritmos deste número. Note que com . Precisamos provar duas afirmações:

1. Se a soma dos algaritmos  do número é divisível por , o mesmo número é divisível por .
2. Se o número é divisível por , então a soma de seus algarismos também é divisível por .
   

Seguindo o princípio do sistema numérico de posição decimal

.

Como para qualquer inteiro e positivo, obtemos

                                (*)

É evidente que o número entre parênteses é divisível por , pois é a soma de adendos, cada um dos quais é divisível por . Então se a soma é divisível por , o número também é divisível por . Neste ponto afirmação (1) está provada. A afirmação (2) também vem da igualdade (*): se seu primeiro membro (o número ) for divisível por e como o primeiro adendo de seu segundo membro (o número entre colchetes) for divisível por , o segundo adendo (a soma dos dígitos do número ) também será divisível por .

Aqui é conveniente lembrar que diferentes fatores aritméticos são úteis para resolver problemas, que são notados por símbolos literais.

Se tivermos dois inteiros e , onde , então existe um único inteiro e um único inteiro com tais que . A igualdade nada mais é a divisão do número pelo número com resto .  Em particular, a igualdade deixa claro que qualquer número par tem uma forma , e qualquer número ímpar pode ser representado na forma de , onde é um inteiro.

Se tivermos um inteiro positivo maior que e se é uma decomposição do mesmo número em fatores simples (aqui são diferentes divisores simples do número , e é o número de suas repetições na decomposição do número ), então qualquer divisor do número tem a forma , onde , com .

Se tivermos os inteiros positivos , então seu divisor comum é chamado de inteiro positivo pelo qual cada um dos números é dividido sem deixar resto. O máximo divisor comum dos números é chamado o máximo divisor comum destes. Se o máximo divisor comum for igual a , os números são chamados mutuamente simples (ou primos entre si).

Vamos examinar alguns exemplos sobre a aplicação das propriedades dos inteiros para resolver problemas relacionados à divisibilidade.

Exemplo 1: Mostre que o número é divisível por em qualquer caso onde é par.

Solução: Sem dúvida, por verificação direta, que esta afirmação é válida para , não seremos capazes de resolver este problema porque não podemos substituir todos os números pares por . Portanto, é necessário dar uma prova de que é válido para qualquer número par .

Todo número par pode ser representado como , onde é inteiro; então . Se mostrarmos que é divisível por , para qualquer inteiro , ficará claro que é divisível por .

Temos que . Vemos que o segundo adendo do lado direito é divisível por . E o primeiro adendo do mesmo membro é um produto de três inteiros sucessivos, então um deles é necessariamente divisível por . Além disso, de dois inteiros sucessivos (sobretudo dos três) um é necessariamente par. Como e são reciprocamente simples, é divisível por para qualquer numero inteiro .

Exemplo 2: Mostre que para qualquer valor do inteiro positivo , não é divisível por .

 

Solução: Um número inteiro positivo, quando dividido por , pode dar como resto os números . Consequentemente, para resolver este problema é razoável dividir todos os inteiros positivos em três classes: com inteiro e positivo; , onde é inteiro positivo ou zero; , onde é inteiro positivo ou zero.

 

Para qualquer inteiro positivo , que é divisível por , ou seja da forma , onde é um inteiro positivo, obtemos: . Como a primeira adenda do segundo membro é divisível por e a segunda não, para esses valores de o número não é divisível por .

 

Se , onde é inteiro positivo ou zero, obtemos . É evidente que neste caso , quando dividido por , dá um resto .

 

Da mesma forma se considerarmos o caso .

 

Exemplo 3: Em quantos zeros termina o produto de todos os inteiros positivo de a inclusive?

 

Solução: Muitos estudantes acham este problema muito difícil por causa de sua embrulhado algo incomum. Enquanto isso, a ideia da sua solução é fácil. Se decompormos o número em fatores primos, obtemos , onde é evidente que cada par de fatores simples e gerará um zero no número , pois . Agora é preciso esclarecer, já que estamos interessados ​​apenas nos números e  na decomposição, quantos dois e cinco irão aparecer durante a decomposição de cada fator do produto .

 

Por exemplo, vamos determinar o número , É evidente que cada fator do produto , que é dividido por , resulta em "cinco" quando decomposto em fatores simples; Acontece que o produto aparece desses fatores. Porém, entre os fatores do produto haverá alguns que são divisíveis por ; dos quais, quando decompostos em fatores, darão mais um cinco; todos esses fatores são . Repetindo a análise para e obtemos que: e . Assim, na decomposição do número em fatores simples, resulta: ''cinco'' ou seja, .