Desigualdades.

Introdução

A importância das desigualdades se deve ao fato de serem aplicadas a diferentes problemas de Ciência e Tecnologia. Neste Blog pretendemos mostrar algumas das aplicações dasdesigualdades ao cálculo numérico. Acreditamos que o material exposto está ao alcance de qualquer aluno com conhecimentos básicos de matemática elementar.

Parte inteira do número

Definição: A parte inteira do número (representada por ) é o maior inteiro que não excede .

Desta definição segue que sempre , desde que a parte inteira não exceda . Por outro lado, como é o maior número que satisfaz essa desigualdade, temos que . Portanto, é o inteiro que satisfaz as desigualdades . Por exemplo, das desigualdades

                                                     (1)

obtemos

.                                                                          (2)

Em cálculos aproximados é muito importante saber determinar a parte inteira de uma magnitude. Com efeito, se conhecemos a parte inteira de uma grandeza , podemos tomar ou como valor aproximado da grandeza , incorrendo num erro que não vai além da unidade, pois

,                                                                                                     (3)

.                                                                                              (4)

Além disso, o fato de conhecer a parte inteira de uma grandeza nos permite encontrar facilmente seu valor com um erro que não ultrapassa . Esse valor pode ser considerado igual a .

Salientemos finalmente que, conhecendo a parte inteira de um número, podemos determiná-lo com qualquer grau de precisão. Como , temos que . Ou seja, o número   difere de em no máximo. Se for grande, o erro será pequeno.

Nos problemas a seguir, as partes inteiras de alguns números são determinadas.

Problema 1. Encontre a parte inteira do número

.                                                                                                 (5)

Solução: Usando as desigualdades

  (6)

(Observe que essas desigualdades são obtidas tomando as raízes, abaixo e acima, em menos de ). Somando essas desigualdades, encontramos

                                                        (7)

ou seja, e, por consequência, . Observe, em conexão com este exemplo, que o número difere de x em no máximo .

Problema 2. Encontre la parte inteira do número

.                                                                            (8)                 

Solução: A única diferença entre este problema e o anterior é o número de adendos: no primeiro eram 5 e agora são 1000000. Mas esta circunstância impossibilita a aplicação prática do método de resolução anterior. Primeiro vamos ver a soma

.                                                                                               (9)

Para isso, provamos as desigualdades

.                                                                                  (10)

De fato, temos que

                                   (11)

e como , temos que

.                                                                                                    (12)

Provamos a primeira das desigualdades (10); a segunda é provada de maneira análoga. Se nas desigualdades (10) tomarmos , obtemos

Somando essas desigualdades temos que:

.                                                  (13)

Somando a todos os membros das desigualdades obtidos encontramos

.                                     (14)

Como e , das desigualdades acima segue que

.                                                          (15)

Usando as desigualdades anteriores é fácil mostrar a parte inteira do número . Com efeito, se nas desigualdades tomarmos , teremos

,                                     (16)

ou seja, temos que . Finalmente obtemos .