Passo a passo exercício de física - ex. 11 UFPR-2014/2015

Física Geral Ensino Médio Movimento Uniforme (MU) Cinemática Gravitação

Questão 11 - UFPR 1ª fase - 2014/2015

Um objeto de massa m está em movimento circular, deslizando sobre um plano inclinado. O objeto está preso em uma das extremidades de uma corda de comprimento L, cuja massa e elasticidade são desprezíveis. A outra extremidade da corda está fixada na superfície de um plano inclinado, conforme indicado na figura a seguir. O plano inclinado faz um ângulo α = 30° em relação ao plano horizontal. Considerando g a aceleração da gravidade e μ = 1/(π.√ 3) o coeficiente de atrito cinético entre a superfície do plano inclinado e o objeto, assinale a alternativa correta para a variação da energia cinética do objeto, em módulo, ao se mover do ponto P, cuja velocidade em módulo é vₚ, ao ponto Q, onde sua velocidade tem módulo vQ. Na resolução desse problema considere sen30° = 1/2 e cos30° = √(3/2).

RESOLUÇÃO

Contextualização e Teoria:

i. Teoria da conservação de energia. Neste caso deve-se considerar o atrito do objeto com o plano inclinado, sendo, portanto, um sistema não conservativo. Logo a variação da energia mecânica (ΔE) será igual à energia dissipada pelas forças não-conservativas (Wnc). Neste problema a única força não-conservativa citada é a força de atrito.

ii. Planos inclinados. Para que se possa calcular a energia dissipada, deve-se conhecer a força de atrito existente, para isso, a força Normal do objeto em relação ao plano de apoio deve ser calculada através dos conhecimentos de planos inclinados e decomposição de vetores da força peso.

iii. Trabalho da força de atrito. A energia dissipada do sistema é equivalente ao trabalho das forças não-conservativas (Wnc), no caso o trabalho da força de atrito. Lembrando que trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento.

Fórmulas e Variáveis:

ΔE = ΔK + ΔU
ΔU = Uƒ - Uₒ
U = m.g.h
Wnc = ΔE
Wnc = τₐ = μ.N.Δx.cosα

Esquemas/Diagramas:

Resolução:

A resposta é a variação de energia cinética, ΔK = ?
A principal forma de relacionarmos energia cinética, energia potencial, atrito e outras energias não conservativas, é através do Teorema da Conservação do Trabalho e Energia:
Wnc = ΔE. Em que Wnc = trabalho de forças não conservativas.

Neste problema apenas o atrito é citado como força não conservativa, e ΔE = variação da energia mecânica do sistema = ΔK + ΔU (todas as energias conservativas do sistemas) logo:

Wnc = trabalho da força de atrito = τₐ = μ.N.Δx.cosα, em que,
τₐ = trabalho da força de atrito, N = força normal, α = ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento, no caso α = 180°. Logo:

τₐ = μ.N.Δx.cosα = ΔK + ΔU, em que ΔK = variação da energia cinética e ΔU = variação da energia potencial, assim:

μ.N.Δx.cosα = ΔK + Uƒ - Uₒ,
μ.N.Δx.cosα = ΔK + m.g.hƒ - m.g.hₒ, sabemos que:

hₒ = 0 (Ponto P),
hƒ = altura no ponto Q,
sen30° = (cateto oposto)/(hipotenusa) = hƒ / (L + L), ou seja, 1/2 = hƒ / 2L, logo, hƒ = L,
Δx = (cateto adjacente/hipotenusa) = N/P, em que P = força peso = m.g, logo:
N = m.g.cos30° = m.g.(√3)/2;

Substituindo tudo em:
μ.N.Δx.cosα = ΔK + m.g.hƒ - m.g.hₒ, temos:
[1/(π√3)].[m.g.(√3)/2].(π.L).(-1) = ΔK + m.g.L - m.g.0
(-m.g.L/2) - m.g.L = ΔK ⇒ ΔK = (-3.m.g.L)/2, em módulo:

|ΔK| = 3.m.g.L/2