Passo a passo exercício de física - ex. 11 UFPR-2014/2015
Por: Guilherme R.
06 de Outubro de 2016

Passo a passo exercício de física - ex. 11 UFPR-2014/2015

Física Velocidade EM Conservação de energia Aceleração Trabalho Energia MU Movimento Cinética Gravidade Energia potencial Elasticidade

Questão 11 - UFPR 1ª fase - 2014/2015

Um objeto de massa m está em movimento circular, deslizando sobre um plano inclinado. O objeto está preso em uma das extremidades de uma corda de comprimento L, cuja massa e elasticidade são desprezíveis. A outra extremidade da corda está fixada na superfície de um plano inclinado, conforme indicado na figura a seguir. O plano inclinado faz um ângulo α = 30° em relação ao plano horizontal. Considerando g a aceleração da gravidade e μ = 1/(π.√ 3) o coeficiente de atrito cinético entre a superfície do plano inclinado e o objeto, assinale a alternativa correta para a variação da energia cinética do objeto, em módulo, ao se mover do ponto P, cuja velocidade em módulo é vₚ, ao ponto Q, onde sua velocidade tem módulo vQ. Na resolução desse problema considere sen30° = 1/2 e cos30° = √(3/2).

RESOLUÇÃO

Contextualização e Teoria:

i. Teoria da conservação de energia. Neste caso deve-se considerar o atrito do objeto com o plano inclinado, sendo, portanto, um sistema não conservativo. Logo a variação da energia mecânica (ΔE) será igual à energia dissipada pelas forças não-conservativas (Wnc). Neste problema a única força não-conservativa citada é a força de atrito. 

ii. Planos inclinados. Para que se possa calcular a energia dissipada, deve-se conhecer a força de atrito existente, para isso, a força Normal do objeto em relação ao plano de apoio deve ser calculada através dos conhecimentos de planos inclinados e decomposição de vetores da força peso. 

iii. Trabalho da força de atrito. A energia dissipada do sistema é equivalente ao trabalho das forças não-conservativas (Wnc), no caso o trabalho da força de atrito. Lembrando que trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento.

 

Fórmulas e Variáveis:

ΔE = ΔK + ΔU 
ΔU = Uƒ - Uₒ 
U = m.g.h 
Wnc = ΔE 
Wnc = τₐ = μ.N.Δx.cosα

 

Esquemas/Diagramas:

 

Resolução:

A resposta é a variação de energia cinética, ΔK = ? 
A principal forma de relacionarmos energia cinética, energia potencial, atrito e outras energias não conservativas, é através do Teorema da Conservação do Trabalho e Energia: 
Wnc = ΔE. Em que Wnc = trabalho de forças não conservativas. 

Neste problema apenas o atrito é citado como força não conservativa, e ΔE = variação da energia mecânica do sistema = ΔK + ΔU (todas as energias conservativas do sistemas) logo: 

Wnc = trabalho da força de atrito = τₐ = μ.N.Δx.cosα, em que, 
τₐ = trabalho da força de atrito, N = força normal, α = ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento, no caso α = 180°. Logo: 

τₐ = μ.N.Δx.cosα = ΔK + ΔU, em que ΔK = variação da energia cinética e ΔU = variação da energia potencial, assim: 

μ.N.Δx.cosα = ΔK + Uƒ - Uₒ, 
μ.N.Δx.cosα = ΔK + m.g.hƒ - m.g.hₒ, sabemos que: 

hₒ = 0 (Ponto P), 
hƒ = altura no ponto Q, 
sen30° = (cateto oposto)/(hipotenusa) = hƒ / (L + L), ou seja, 1/2 = hƒ / 2L, logo, hƒ = L, 
Δx = (cateto adjacente/hipotenusa) = N/P, em que P = força peso = m.g, logo: 
N = m.g.cos30° = m.g.(√3)/2; 

Substituindo tudo em: 
μ.N.Δx.cosα = ΔK + m.g.hƒ - m.g.hₒ, temos: 
[1/(π√3)].[m.g.(√3)/2].(π.L).(-1) = ΔK + m.g.L - m.g.0 
(-m.g.L/2) - m.g.L = ΔK ⇒ ΔK = (-3.m.g.L)/2, em módulo: 

|ΔK| = 3.m.g.L/2

 

Abraço e Bons estudos!

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Guilherme R.
Curitiba / PR
Guilherme R.
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Graduação: Engenharia Elétrica (UTFPR/CEFET-PR)
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