Métodos de Euler e Runge Kutta

Artigo retirado de: https://www.engquimicasantossp.com.br/2016/03/metodos-de-euler-e-runge-kutta.html

Pedro Coelho

Nessa postagem, eu vou abordar alguns métodos, para a resolução numérica de equações diferenciais, e dentre esses métodos, eu vou falar um pouco sobre o método de Euler, método de Euler aperfeiçoado (modificado) e o método de Runge-Kutta.

MÉTODO DE EULER
Desenvolvido por Leonhard Paul Euler nos anos de 1760, o Método de Euler é prático e simples para se resolver uma equação diferencial. No entanto, esse método de resolução não é tão preciso.
Fórmula do método

yn+1=yn+h(xn,yn)

EXEMPLO DE APLICAÇÃO
1) Dada a equação diferencial y′=tg2(x)+y3  e  y(2,0)=1,450, calcule y(2,3) através do método de Euler, sendo o h=0,1.
Resolução:


yn+1=yn+h(xn,yn)

y1=y0+h(x0,y0)=1,45+0,1((tg22)+(1,45)3)=2,232

y2=y1+h(x1,y1)=2,232+0,1((tg22,1)+(2,232)3)=3,636

y3=y2+h(x2,y2)=3,636+0,1((tg22,2)+(3,636)3)=8,632

Resposta:

y(2,3)=8,632

MÉTODO DE EULER APERFEIÇOADO OU MODIFICADO
O Método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de Método de Euler Modificado) foi desenvolvido nos anos de 1770, e é mais preciso do que o método de Euler. 
Fórmula do Método de Euler

y1=y0+h.(f(x0,y0))

Fórmula do método de Euler aperfeiçoado

y1∗=y0+h2.(f(x0,y0)+f(x1,y1))

EXEMPLO DE APLICAÇÃO
1 ) Dada a equação diferencial y′=x2y−ln(5+y)  e  y(1,6)=2,560, calcule y(2,0) usando o Método de Euler Aperfeiçoado, sendo o h=0,2.


Resolução
y1=y0+h.(f(x0,y0))⇒y1=2,560+0,2.((1,6)2.(2,560)−ln(5+2,560))=3,466

y1∗=y0+h2.(f(x0,y0)+f(x1,y1))⇒ 

⇒y1∗=2,560+0,22.(((1,6)2.(2,560)−ln(5+2,560))+((1,8)2.(3,466)−ln(5+3,466)))=3,922

y2=y1∗+h.(f(x1,y1∗))⇒y2=3,922+0,2.((1,8)2.(3,922)−ln(5+3,922))=6,026

y2∗=y1∗+h2.(f(x1,y1∗)+f(x2,y2))⇒ 

⇒y2∗=3,922+0,22.(((1,8)2.(3,922)−ln(5+3,922))+((2,0)2.(6,026)−ln(5+6,026)))=7,144
Resposta:

y(2,0)=7,144

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Desenvolvido por Carl David Tolmé Runge e Martin Wilhelm Kutta no começo dos anos de 1900, o método de Runge-Kutta é um método bem preciso para se obter a solução numérica de equações diferenciais.

Fórmulas do método de Runge-Kutta:

y1=y0+16.(k1+2(k2)+2(k3)+(k4))

K1=h.f(x0,y0)

K2=h.f(x0+h2,y0+K12)

K3=h.f(x0+h2,y0+K22)

K4=h.f(x0+h,y0+K3)

EXEMPLO DE APLICAÇÃO
1 ) Dada a equação diferencial y′=y+excos2(x)  e  y(1,0)=4,233, calcule y(1,1) usando o método de Runge Kutta, sendo o h=0,1.

Resolução

K1=h.f(x0,y0)=h.f(1  ,   4,233)

K1=0,1.(4,233+e1cos2(1))=1,354

K2=h.f(x0+h2,y0+K12)=h.f(1+0,12,4,233+1,3542)=h.f(  1,05  ,   4,910 )

K2=0,1.(4,910+e1,05cos2(1,05))=1,645

K3=h.f(x0+h2,y0+K22)=h.f(1+0,12,4,233+1,6452)=h.f( 1,05  ,   5,056 )

K3=0,1.(5,056+e1,05cos2(1,05))=1,660

K4=h.f(x0+h,y0+K3)=h.f(1+0,1  ,   4,233+1,660)=h.f( 1,1  ,   5,893 )

K4=0,1.(5,893+e1,1cos2(1,1))=2,049

Calculando y1:

y1=y0+16(K1+2K2+2K3+K4)⇒

y1=4,233+16(1,354+2(1,645)+2(1,660)+2,049)=5,902
Logo,

y(1,1)=5,902

REFERÊNCIAS

• Notas de Cálculo Numérico, Profº Joaquim, Unisanta, Santos, São Paulo, 2011. 
• Notas de Cálculo Numérico, Pedro Coelho, Santos, São Paulo, 2011.