Resumo de Análise combinatória

Na linha de frente com a probabilidade, a análise combinatória amedronta muitos alunos. Principalmente, pelo caráter hipotético dessas áreas da matemática.

Calma! Nem tudo está perdido. Com esse prático resumo e fazendo muitos exercícios, você se tornará o craque da análise combinatória. E, certamente, se dará muito bem nos seus exames ou em qualquer outro momento de sua vida que precise usar das combinações.

A análise combinatória oferece métodos e procedimentos que possibilitam representar a quantidade de agrupamentos possíveis, de acordo com critérios estabelecidos, em uma aglomeração de itens. Para iniciar nossos estudos, vamos começar entendendo o conceito de fatorial.

Antes uma ressalva importante, falaremos agora sobre alguns conceitos fundamentais. A princípio tudo pode parecer muito confuso, caso você ainda não tenha muito conhecimento sobre o tópico. No entanto, ao final do resumo realizaremos alguns exercícios bem abrangentes que lhe esclareceram facilmente suas dúvidas.

Fatorial:

Sendo n, um número natural maior que dois, chamamos de n fatorial ou fatorial de n o produto de todos os números partindo do n até 1.

Por exemplo:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

n! = n x (n - 1) x (n – 2) x (n – 3) x (n – 4) .... 3 x 2 x 1

Quanto maior o valor de n, mais dificultoso o cálculo. Por isso, pode-se simplificar usando algumas estratégias, como n( n – 1)!

Exemplo:

6! = 6 x (6 – 1)! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720

7! = 7 x (7 – 1)! = 7 x 6! = 7 x 720 = 5040

Vale lembrar que 0! = 1 e 1! = 1.

Princípios fundamentais da contagem

Em k conjuntos probabilísticos, com Nielementos, finitos, independentes e continuados, o número provável para escolher um elemento de cada grupo é dado pela multiplicação.

n1 x n2 x n3 x n4 x ... x nk

Arranjo simples

Considerando a ordem e a localização dos elementos como princípio, o arranjo simples é o grupo de p itens retirado do conjunto n de acordo com alguma situação. Para calcular, podemos utilizar de duas maneiras:

1ª) An,p = n x (n – 1) x (n – 2)x ... x (n – p + 1)

2ª) An,p =      n!___   

                   ( n – p)! 

Permutação

Redistribuição de elementos em um agrupamento.

• Permutação simples: Agrupamento dos itens de um conjunto que se diferenciaram apenas pela ordem.

                                Pn = n!

• Permutação com repetição: nesse caso, a reorganização acontecerá, contudo, as repetições serão excluídas. Por exemplo, um conjunto de X elementos de n com r1, r2, r3, ..., rk repetições podemos calcular da seguinte maneira:

                 r1, r2, r3, ..., rk

             P  =                  n!_______          

               n            r1, r2, r3, ..., rk

Combinação simples

A combinação simples é o agrupamento de n itens de um conjunto p em que a ordem dos elementos não importa. O procedimento, assim, não é complexo. Basta dividir o número de arranjos pela permutação das combinações. Ou seja:

                        Cn,p =    An,p       =             n!____

                                      p!             p! x ( n – p)!

Exercício:

(UFF) uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e um certo número de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus que torna verdadeira a afirmação do organizador.

a) 189

b) 30

 c) 11

d) 5

e) 4

Resolução:

Obs. adotaremos y como número de chapéus.

3 x 3 x 5 x y > 200

45 x y > 200

y > 200/45

y > 4,44...

Logo, a quantidade mínima de chapéus é 5, alternativa D.

Certamente, você encontrará alguns exercícios difíceis de análise combinatório. No entanto, fixando bem a base teoria e praticando bastante, você conseguirá resolve-los facilmente. Além disso, você também pode buscar aplicar esse conteúdo para resolver contratempos no seu cotidiano. A aprendizagem, assim, se tornará muito mais interessante.