Espaço Amostral e Família de Eventos

            No último post vimos que a probabilidade é uma medida definida por uma trinca (Ω,Ϝ,Р). Hoje vamos explicar detalhadamente o que é o espaço amostral e a família de eventos, mas para tal fim, precisamos primeiro introduzir algumas ideias da teoria dos conjuntos.

            Podemos definir um conjunto de duas maneiras: como todos os objetos que possuem uma característica em comum ou simplesmente dizendo quais são os objetos do conjunto. Digo objeto pois um conjunto não é necessariamente formado por números. Pode ser formado por qualquer coisa, desde vetores e intervalos até objetos do mundo real, como o céu e os planetas.

            A primeira definição de conjunto é a mais interessante e geral. Por exemplo, A = {x ∈ℝ : x > 0} é o conjunto de todos os números positivos, enquanto B = {Todos os objetos que são azuis} é um conjunto que contém o céu e o Planeta Terra, por exemplo, pois ambos são azuis. Já a segunda definição requer que especifiquemos todos os elementos do conjunto: A = {0, a, (12,20), [0,10[, 100}.

          Existem três operações básicas com conjuntos: união (∪), interseção (∩) e o complementar  . A partir dessas três operações derivamos o operador menos (-). Considere os eventos A = {1,2,3,5}, B = {x ∈ℝ : x < 5} e C = {[-10, 3[,[5, 100]}. Então teremos:

- A ∪ B = {x ∈ℝ : x ≤ 5} pois a união de conjuntos é formada pelos elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.

- A ∩ B = {1,2,3} pois a interseção de conjuntos possui todos os elementos que estão em todos os conjuntos ao mesmo tempo.

-  = {]-∞, -10[, [3, 5[, ]100, +∞[} que é o conjunto de todos os elementos que não estão em C. Note que, nesse caso, está claro que C está contido no conjunto dos números reais, então o seu complementar será todos os números reais que não estão em C. Precisamos definir bem qual seria o “domínio” dos elementos do conjunto para acharmos seu complementar. No exemplo do conjunto de todas os objetos da cor azul, teríamos que o complementar seria o conjunto de todas as coisas que são de outra cor e não os números reais (por quê?).

- A – B = {5} que seria o conjunto de todos os elementos de A que não estão em B.

            Se um elemento está em um conjunto dizemos que ele pertence (∈) a esse conjunto: x ∈ A. Também definimos as partes de um conjunto A como todos os conjuntos que contém apenas elementos de A ou que não contém elemento nenhum. Por exemplo, seja A = {0,1,2} então as partes de A será o conjunto Pa(A) = {{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}, sendo que o conjunto {} é chamado de conjunto vazio e denotado por ∅. Sabendo o que é um conjunto e suas operações elementares já somos capazes de entender melhor o que são o espaço amostral e a família de eventos.

O Espaço Amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento de interesse. Abaixo temos exemplos de espaços amostrais para alguns experimentos:

1. 1.Lançar um dado e observar a face que caiu para cima

Ω = {1,2,3,4,5,6}

2. 2.Lançar duas moedas e observar a face que caiu para cima em cada lançamento

Ω = {(Cara,Coroa),(Coroa,Cara),(Coroa,Coroa),(Cara,Cara)}

3. 3.Ligar uma lâmpada e observar quantos minutos ela demora para queimar

Ω = { x ∈ℝ: x >0} (pois o tempo deve ser positivo e lâmpada pode nunca queimar)

4. 4.Lançar uma moeda até que a face virada para cima seja cara

Ω={(Cara),(Coroa,Cara),(Coroa,Coroa,Cara),(Coroa,Coroa,Coroa,Cara),...}

(observe que o existem infinitos elementos nesse conjunto pois eu posso lançar a moeda e nunca dar cara)

            É muito importante que o espaço amostral contenha todos os resultados possíveis de um experimento, pois os únicos resultados que terão probabilidade são aqueles que estão em Ω. Deixar um resultado fora de Ω não significa dar probabilidade zero para tal resultado, significa não dar nenhum valor de probabilidade para ele. Em outras palavras, a probabilidade só consegue medir eventos que estão na família de eventos e, para um resultado estar na família de eventos, ele deve estar em Ω, como veremos a seguir.

            Uma Família de Eventos Ϝ pode ser um conjunto que contém todos os subconjuntos de Ω, ou seja, as partes de Ω. Se Ω = ℝ não é possível usar as suas partes como Ϝ, mas podemos imaginar F como sendo todos os conjuntos de todos os intervalos de ℝ (considerando também os disjuntos) e os números reais. Observe que na família de eventos definida como as partes de Ω para o exemplo 2 teremos conjuntos, que chamaremos de eventos, com características como:

- “sair duas caras” => {(Cara,Cara)}

- “sair uma coroa” => {(Cara,Coroa),(Coroa,Cara)}

- “sair pelo menos uma coroa” => {(Coroa,Coroa},(Cara,Coroa),(Coroa,Cara)}

          Definidos o Espaço Amostral e a Família de Eventos só falta definirmos a Função de Probabilidade Р para completarmos a trinca da medida de probabilidade. A função Р será uma função que associa para cada evento de Ϝ um número entre zero e um que será chamado de probabilidade do evento Ϝ. Por isso é importante que todos os resultados possíveis de um experimento estejam em Ω para que eles possam estar em Ϝ e, portanto, estejam passíveis de receber probabilidades.

          DESAFIO: Deduza o operador menos (-) a partir dos três operadores fundamentai de conjuntos. Defina o espaço amostral e a família de eventos para o experimento de lançar um dado. Determine os eventos A = “sair uma face menor que 3” e B = “não sair nem 5 e nem 2”.

            DICA: Para deduzir é necessário apenas os operadores interseção e complementar. A família de eventos terá 64 eventos.

            No próximo post falaremos sobre a Função de Probabilidade Р. Até lá!

            REFERÊNCIA: Revista Cálculo – Edição 50 – Março/2015