Função de Probabilidade

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Nesse post terminaremos de definir a trinca $( \Omega, F, P)$ , construindo a função de probabilidade $P$ . Como vimos anteriormente, a probabilidade é uma medida: ela associa para cada evento de um experimento um número entre zero e um. Uma medida de probabilidade é completamente definida por uma trinca $( \Omega, F, P)$ , onde $\Omega$ é o espaço amostral (conjunto de tudo que se pode observar em um experimento), $F$ é uma família de eventos (formada por subconjuntos de $\Omega$ ) e $P$ é a função de probabilidade (responsável por medir os eventos de $F$ quanto a sua probabilidade).

O contra-domínio da função de probabilidade é a família de eventos $F$ e sua imagem é o intervalo real fechado $0,1$ , ou seja, ela é uma função que leva cada evento de $F$ em sua probabilidade: um número entre zero e um. Para um determinado evento $A$ $\in$ $F$ teremos que a probabilidade do evento $A$ será denotada por $P(A)$ .

$P:F$ -------> $[0,1]$

$A$ -------> $P(A)$

Essa função de probabilidade segue três axiomas, ou seja, três condições que devem ser verdadeiras para que uma função seja uma função de probabilidade. Esses aximoas foram propostos pelo russo Andrei Kolmogorov em 1933 e são conhecidos como Axiomas de Kolmogorov. Essa axiomatização foi importante pois padronizou e definiu formalmente o conceito de probabilidade proposto pela primeira vez por Cardano (1501-1576), que o aplicou para o cálculo de chances em jogos de azar. Os três axiomas de Kolmogorov são:

$1) P(\Omega) = 1$

$2)P(A)\geq0, \ para \ todo \ A \in F$

$3) P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i), se A_j \cap A_k = \emptyset\ para\ todo\ j \neq k$

O primeiro axioma define que a probabilidade de ocorrer o espaço amostral deve ser um. Dar probabilidade um para algum conjunto segnifica dizer que, ao se realizar o experimento, tenho certeza de que ocorrerá algum elemento desse conjunto. Como $\Omega$ possue todos os elementos possíveis de um experimento, temos certeza de que ocorrerá um elemento de $\Omega$ , logo sua probabilidade deve ser um. Devido a esse axioma, é importante incluimos todos os resultados possíveis de um experimento no espaço amostral, pois assim garantimos que sua probabilidade será um e a função de probabilidade obedecerá o primeiro axioma de Kolmogorov.

O segundo axioma define que a probabilidade de um evento $A$ $\in$ $F$ deve ser maior ou igual a zero. Esse axioma garante que a imagem da função de probabilidade seja um número maior ou igual a zero, enquanto o primeiro axioma garante que a probabilidade de um evento $A\in$ $F$ é menor ou igual a 1 (por quê?). Finalmente, o terceiro axioma define que se infinitos eventos são disjuntos, ou seja, se as interseções de todos os eventos dois a dois forem vazias, então a probabilidade da união desses eventos é a soma de suas probabilidades. Esse axioma nos diz que se a probabilidade de ocorrer dois eventos ao mesmo tempo for zero, então a probabilidade da união desses dois eventos será a soma das probabilidades de ocorrência de cada evento.

A partir desse três axiomas deriva-se facilmente algumas propriedades da função de probabilidade:

$1)P(\emptyset)=0$

$2)P(A^c)=1-P(A)$

$3)P(A) \leq P(B), \ se \ A \subset B$

$4)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Agora que já definos nossa trinca (Ω,Ϝ,Р), podemos atribuir probabilidades, por exemplo, para o evento "chover amanhã em São Paulo". Para tal fim definimos a trinca $( \Omega, F, P)$ : $\Omega = \{$ , $F = \{ \{$ e $P$ é uma função tal que $P(\{$ , $P(\{$ , $P(\{$ e $P(\{\emptyset \}) = 0$ , bastando apenas escolher um $p \in \[0,1\]$ de acordo com a probabilidade real de chover amanhã. Esse valor de $p$ pode ser obtido usando métodos estatísticos.

DESAFIO: Derive as propriedas 1, 2, 3 e 4 a partir dos três axiomas de Kolmogorov. Construa uma trinca (Ω,Ϝ,Р) para o evento de lançar um dado e observar a face virada para cima tal que $P( \{1,3,5\} ) \neq P( \{2,4,6\} ) \neq \frac{1}{2}$

Terminamos aqui nossa definição sobre a media de probabilidade. Nas próximas semnas iremos falar um pouco sobre análise combinatória, probabilidades condicionais e eventos independentes. Até lá!

REFERÊNCIAS:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano

https://pt.wikipedia.org/wiki/Andrei_Kolmogorov

Dantas, C. A. B; Probabilidade: Um Curso Introdutório; Edusp; 3 Edição