Efeito Doppler Relativístico

O Efeito Doppler para ondas mecânicas ocorre devido ao movimento da fonte e do observador em relação ao ar, ou seja, 
o ar é o referencial, pois ondas sonoras tem o ar como meio de propagação. Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar, 
elas podem se propagar no vácuo; então o que causará o Efeito Doppler será a velocidade relativa entre a fonte (emissora de ondas) e o detector(observador).

Suponha um referencial , onde se encontra o observador e o referencial , onde se encontra a fonte.  tem uma velocidade () 
em relação ao referencial , como na figura abaixo:

O observador está no referencial  "na frente da fonte", que se move em sua direção com velocidade .
A frequência emitida pela fonte é , onde  é o tempo próprio, tempo esse que é medido no referencial .
A fonte em  se move a uma velocidade  em relação ao observador em . 

Observe na figura acima. No evento 1, a fonte emitiu uma frente de onda, no evento 2 a fonte emitiu a segunda frente de onda. 
A fonte se move com velocidade , enquanto a frente de onda se move com velocidade . 
O tempo  é o tempo que levou para fonte emitir a segunda frente de onda; nesse mesmo tempo a primeira frente de onda se deslocou , 
e a fonte se deslocou .  
O comprimento de onda observado é a distância entre as frentes de ondas.

Portanto, o comprimento de onda será o deslocamento da frente da primeira frente de onda subtraído pelo deslocamento da fonte 
no mesmo intervalo de tempo(onde a fonte emite a segunda frente de onda):

A frequência captada pelo observador é,

Substituindo  em  temos: 

Em  temos , que é o tempo dilatado. 
Precisamos do tempo próprio, é que a partir dele podemos deduzir a frequência que é emitida no referencial da fonte. 
A relatividade restrita nos diz que,

Substituindo em , a frequência detectada no referencial do observador será:

Sabendo que,  ,   e que  , podemos substituir tudo em :

Quando  significa que a fonte está se aproximando do observador, nesse caso , e ocorrerá um desvio para o azul (blue-shift).
Quando   significa que a fonte está se afastando, então temos que , portanto ocorrerá um desvio para o vermelho (red-shift). 
Sendo assim teremos uma equação que descreve o red-shift e outra que descreve o Blue-shift.

Se a fonte descrevesse um movimento circular essa equação estaria incompleta e não poderia nos ajudar. 
Então iremos deduzir a equação do Efeito Doppler de forma mais geral. Observe a Figura abaixo: a fonte tem uma velocidade tangencial, 
e trajetória do movimento da fonte faz um ângulo   com o observador.

A ideia é similar a anterior, a fonte está no referencial , no primeiro evento ela emite uma frente de onda, uma onda que percorre uma distância . 
A fonte se desloca na direção do observador. O comprimento de onda é a diferença entre as duas frente de ondas:

Substituindo em , temos a frequência detectada pelo observador: 

Precisamos deixar a equação em termos de tempo próprio. Pela relatividade restrita, temos a relação , substituindo ela em :

Como já foi visto sabemos que,   ,   e que  ,e podemos substituir tudo em :

Essa é a equação generalizada do Efeito Doppler que descreve o Red-shift e o Blue-shift. Tal equação também pode ser escrita em função do comprimento de onda.

Lembrando que  e  são detectados pelo observador e  e  é a frequência e o comprimento de onda próprio(medidos no referencial ).