Efeito Doppler Relativístico
Por: Gustavo S.
17 de Março de 2021

Efeito Doppler Relativístico

Física Relatividade Restrita Efeito Doppler relativístico Ondas Ensino Superior
O Efeito Doppler para ondas mecânicas ocorre devido ao movimento da fonte e do observador em relação ao ar, ou seja, 
o ar é o referencial, pois ondas sonoras tem o ar como meio de propagação. Ondas eletromagnéticas não precisam de um meio para se propagar,
elas podem se propagar no vácuo; então o que causará o Efeito Doppler será a velocidade relativa entre a fonte (emissora de ondas) e o detector(observador).

Suponha um referencial , onde se encontra o observador e o referencial , onde se encontra a fonte.  tem uma velocidade () 
em relação ao referencial , como na figura abaixo:
O observador está no referencial  "na frente da fonte", que se move em sua direção com velocidade .
A frequência emitida pela fonte é , onde é o tempo próprio, tempo esse que é medido no referencial .
A fonte em se move a uma velocidade em relação ao observador em .



Observe na figura acima. No evento 1, a fonte emitiu uma frente de onda, no evento 2 a fonte emitiu a segunda frente de onda. 
A fonte se move com velocidade , enquanto a frente de onda se move com velocidade .
O tempo é o tempo que levou para fonte emitir a segunda frente de onda; nesse mesmo tempo a primeira frente de onda se deslocou ,
e a fonte se deslocou .
O comprimento de onda observado é a distância entre as frentes de ondas.
Portanto, o comprimento de onda será o deslocamento da frente da primeira frente de onda subtraído pelo deslocamento da fonte 
no mesmo intervalo de tempo(onde a fonte emite a segunda frente de onda):

A frequência captada pelo observador é,
Substituindo  em  temos: 



Em  temos , que é o tempo dilatado. 
Precisamos do tempo próprio, é que a partir dele podemos deduzir a frequência que é emitida no referencial da fonte.
A relatividade restrita nos diz que,
Substituindo em , a frequência detectada no referencial do observador será:

Sabendo que,  ,   e que  , podemos substituir tudo em :


Quando  significa que a fonte está se aproximando do observador, nesse caso , e ocorrerá um desvio para o azul (blue-shift).
Quando significa que a fonte está se afastando, então temos que , portanto ocorrerá um desvio para o vermelho (red-shift).
Sendo assim teremos uma equação que descreve o red-shift e outra que descreve o Blue-shift.

Se a fonte descrevesse um movimento circular essa equação estaria incompleta e não poderia nos ajudar. 
Então iremos deduzir a equação do Efeito Doppler de forma mais geral. Observe a Figura abaixo: a fonte tem uma velocidade tangencial,
e trajetória do movimento da fonte faz um ângulo com o observador.
A ideia é similar a anterior, a fonte está no referencial , no primeiro evento ela emite uma frente de onda, uma onda que percorre uma distância . 
A fonte se desloca na direção do observador. O comprimento de onda é a diferença entre as duas frente de ondas:
Substituindo em , temos a frequência detectada pelo observador: 
Precisamos deixar a equação em termos de tempo próprio. Pela relatividade restrita, temos a relação , substituindo ela em :
Como já foi visto sabemos que,   ,   e que  ,e podemos substituir tudo em :
Essa é a equação generalizada do Efeito Doppler que descreve o Red-shift e o Blue-shift. Tal equação também pode ser escrita em função do comprimento de onda.
Lembrando que  e  são detectados pelo observador e  e  é a frequência e o comprimento de onda próprio(medidos no referencial ).
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