Representação de Funções pela série de Taylor
Grande parte das funções podem ser representadas através de uma série de potencias, chamada de série de Taylor de acordo com a expressão abaixo:
eq 1
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eq 2
onde fn(a) representa a derivada de f(x) de ordem n calculada no ponto x=a.
A série acima é chamada serie de Taylor de f(x) em torno do ponto a.
Por exemplo, vamos representar a função exponencial e(x) em torno do ponto a=0, pela equação (2).
Como todas as derivadas de e(x) em a=0 são iguais a 1, temos:
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eq 3
eq 4
que em torno de a=0 vale:
eq 5
Para calcularmos na prática, em um computador, uma função pela série de Taylor, utilizamos um numero de termos finitos n , pois não temos como calcularmos um numero infinito de termos. A soma parcial até o termo de ordem n é chamada polinômio de Taylor de grau n de f em a, dado por:
eq 6
No caso da f(x)=e(x) temos para os três primeiros termos:
eq 7
eq 8
eq 9
Conforme utilizamos maior numero de termos, isto é, polinômio de Taylor com maior grau, nos aproximamos mais da função representada. Na figura abaixo mostramos a representação de e(x) pelos polinômios, T1, T2 e T3:
https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/grafpolinext1t2t3/
No limite quando n tende ao infinito a função f(x) pode ser representada exatamente pelo polinômio de Taylor , ou seja a série infinita.
eq 10
Se definirmos Rn(x) como o Resto da série, pela equação:
eq 11
então:
eq 12
ou
eq 13
então quando aproximamos a função f(x) pelo polinômio de Taylor de ordem n, o primeiro termo da equação 13, desprezando o Resto R, introduzimos um erro, por isto o Resto é chamado de erro de truncamento. Quanto maior for o grau do polinômio de Taylor utilizado, melhor é a aproximação e menor é o erro. No limite quando a polinômio de Taylor apresenta um grau muito alto, e tende para uma série infinita e o erro tende a 0.
DESIGUALDADE DE TAYLOR:
então o Resto da serie de Taylor satisfaz a desigualdade:
eq 14
Exemplo: vamos calcular o resto da aproximação da função e(x) por um polinômio de Taylor com n=7, em torno do ponto a=0, no intervalo de 0 a 1.
Temos que todas as derivadas de e(x) são iguais a própria e(x) então:
Então o erro de se calcular e(x) no intervalo 0<= x<= 1, em torno de a=0 pelo polinômio de Taylor de grau 7 (oito termos da série) é $\le 0,0000677$.
Se quisermos calcular a mesma função e(x) mas no intervalo 0<=x<=20 mantendo aproximadamente o mesmo erro absoluto anterior, temos que usar 77 termos que corresponde ao polinômio de Taylor de grau 76, pois:
Vamos agora implementar um programa para calcular e(x) através do polinômio de Taylor, utilizando o numero necessário de termos para uma boa acurácia. Vamos utilizar o programa Scilab que tem licença geral publica (GNU) e pode ser baixado facilmente para PC ou MAC, sem custos.
Apos abrir o Scilab vá no menu de topo em Aplicativos e abra o SciNotes (editor de textos integrado) onde vamos inserir a função (programa) e gravar para execução no console (tema principal do Scilab). Digite o programa abaixo no SciNotes e grave com o nome que desejar, no meu caso chamei de minhasfuncoes. Pode se manter várias funções gravadas no mesmo arquivo. O programa está mostrado abaixo com os devidos comentários em cada linha.
https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/programcalculaexp/
Apos digitar o programa clique na barra de ferramentas horizontal na parte superior da janela do SciNotes, procure o item salvar e executar (pequeno triangulo do lado direito da barra), clique no mesmo , alem de salvar vai carregar a função no console , retornando uma mensagem no console conforme abaixo:
'/Users/joaocarlosnassarguedes/Desktop/Scilibsaves/minhasfuncoes.sce', -1)
significando que o arquivo com funções foi carregada para uso.
Para rodar nossa função e(x), vamos digitar a linha abaixo no console, para capturar os resultados na matriz da esquerda
[Resultado, Diferenca-da-soma, Numero-de-termos]=calculaexponencial(1)
Rodando a função com três valores diferentes de x de entrada, iguais a 1, 10 e 18 , obtemos as saídas conforme tela baixo do console do Scilab:
https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/consolefuncaoexp/
Conforme verificamos a saída do calculo mostra o resultado da função e(x), para o valor de x de entrada, a diferença da soma (que deve ser um numero pequeno, significando uma boa aproximação com baixo erro), e também o numero de termos necessários da serie de Taylor. Observe que para manter o erro baixo foram necessários calcular no caso de e(1), 13 termos, no caso de e(10), 42 termos e no caso de e(18), 64 termos da serie.
Conforme mencionado a necessidade de um numero maior de termos para manter o erro baixo se dá em virtude da formula do resto (eq 14) que repetimos abaixo, considerando f(x)=e(x)
eq 15
para calcularmos por exemplo e(18) com apenas 11 termos (n=10) teríamos o erro:
que dá aproximadamente erro 1,07 .1014, extremamente alto.
Porem aplicando a mesma formula , usando 64 termos temos:
que dá aproximadamente erro <= 0,11.
Computando Rn(18) com a formula (15) para vários valores de n obtemos o gráfico abaixo mostrando o comportamento do erro em função de de n:
https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/graficodoresto/
Utilizamos a escala do eixo Y com escala logarítmica para melhor visualização uma vez que os valores tem uma faixa de variação muito grande para acomodar.
Observamos claramente que para valores pequenos de n= 5, 10, 20, os valores do erro são extremamente altos da ordem de 1010 a 1014 e para valores grandes de n= 70 a 80 o erro é da ordem de 10-6 a 10-10. Fica claro pelo gráfico que para reduzirmos o erro a valores pequenos temos que aumentar n e portando usar mais termos na série de aproximação da função.
Para nosso caso simulado com x=18, n=63 (64 termos da série), temos erro <= 0,11 conforme calculado acima, então log10(0,11)=-0,96 que corresponde ao ponto de cruzamento das linhas vermelhas do gráfico.
Então nossa aproximação deu e(18) ~=65659969,14 com erro aproximado erro <= 0,11 .Se precisarmos obter resultado com erro menor ainda , basta aumentarmos o numero de termos na série utilizada, aumentando n e recalculando a função.
Abraços,\\
João Carlos\\
jjjjcng2013@gmail.com
