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Aplicações de soma e multiplicação de matrizes

Por: Julio R.
19 de Abril de 2016

Aplicações de soma e multiplicação de matrizes

Matemática Matrizes Geral Operações Programação em R Ensino Médio

Ola para você que se interessou por este poste, hoje quero falar sobre um assunto que a galera geralmente não entende muito bem que é a soma e multiplicação de matrizes irei falar por meio de aplicações na vida real assim fica fácil pegar o raciocínio que é o que importa no final das contas.

Soma de matrizes.

A soma de matrizes não é algo difícil, alias é muito intuitivo, então vamos logo a exemplo:

Uma pessoa possui 3 paginas no Facebook e quer criar algumas métricas para medir o desempenho delas. Como sabemos quando publicamos algo no Facebook existem 3 categorias básicas de interação com o mesmo que são: comentários,curtidas e compartilhamentos, muito bem, com esses dados é possível criar uma tabela para cada mês de vida das paginas.

Observação: os valores que aparecem na tabela são aleatórios não precise ficar preocupado com de onde eu tirei eles.

: desempenho da pagina no mês 1.

Como vemos fica fácil tirar algumas informações interessantes quando colocamos nesse formato, como qual é a pagina que tem mais curtidas, ou a que tem mais compartilhamentos e por ai vai.

Agora vamos criar uma tabela para o segundo mês para podermos tirar mais algumas informações interessantes e aplicar a soma de matrizes.

: Desempenho da pagina mês 2

Agora temos duas tabelas uma para o mês 1 e outra para o mês 2, agora vamos coloca-las em notação matemática.

Vamos chama-las de $M_{ij}$ e $N_{kl}$ com isso temos:

$M_{ij}=\begin{bmatrix} 21 & 55 & 25 \\ 85& 91 &78 \\ 27& 28& 10 \end{bmatrix}$ $N_{kl}=\begin{bmatrix} 71& 70 & 73 \\ 74& 82 &1 \\ 94& 94 & 38 \end{bmatrix}$

Antes gostaria de lembrar sobre como localizar um elemento de uma matriz vamos por exemplo ver a matriz $M_{ij}$ o $i$ representa as linhas e o $j$ representa as colunas.

então se eu me referir ao elemento $M_{2,1}$ eu estou falando do número 85 na matriz $M_{ij}$ .

A soma delas será dada por $M_{ij} + N_{kl}$ , só lembrando que para somarmos matrizes somamos cada elemento da matriz com o elemento correspondente na outra matriz.
então neste caso:

$\begin{bmatrix} 21 & 55 & 25 \\ 85& 91 &78 \\ 27& 28& 10 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 71& 70 & 73 \\ 74& 82 &1 \\ 94& 94 & 38 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}92&125&98\\ 159&173&79\\ 121&122&48 \end{bmatrix}$

Bem simples não?. Chamaremos essa nova matriz de $S_{ab}$ , da mesma forma se quisermos saber a diferença entre essas matrizes basta somarmos a matriz $N_{kl}$ com o oposto da matriz $M_{ij}$ que seria basicamente trocar todos os sinais dos elementos dessa matriz por negativo.

Agora vamos aproveitar para discorrer um pouco sobre a notação de somatório muito usada em operações com matrizes e séries.

Vamos supor que temos a seguinte soma: $M_{1}+M_{2}+M_{3}+......+M_{n}$

Fiz dessa forma pois quero dizer que estou somando um número indefinido de matrizes, isso acontece muito em banco de dados, planilhas e qualquer outra base de dados em que exista uma atualização constante então é melhor optar pelo sigma.

$\sum_{n=1}^{p}M_{n}$

Com isso estou dizendo que somarei as matrizes do primeiro mês ate a matriz do $p$ mês. Entenda por $p$ mês o ultimo mês ate onde quero somar repare que no somatório o $n=1$ na parte de baixo é o limite inferior é onde começa a soma e o $p$ é o limite superior é onde termina a nossa soma.

por exemplo:

$\sum_{n=1}^{3}M_{n} =M_{1}+M_{2}+M_{3}$

Bem sobre soma de matrizes pararei por aqui poderíamos analisar mais casos porém isso envolve outras operações e eu queria tratar apenas da soma de matrizes em si e desmistificar um pouco a notação de somatório.

Multiplicação de matrizes.

Agora vamos ver uma aplicação da multiplicação de matrizes.

Supomos que alguém resolve aplicar na bolsa de valores e compra algumas ações no caso as ações A, B, C e D. Ele compra as seguintes quantidades de cada: 19 da A, 12 da B, 73 da C e 46 da D. E como sabemos cada ação tem seu preço unitário para este exemplo podemos dizer que A custa R$ 8,00, B custa R$ 7,00, C custa R$ 6,00 e D custe R$ 9,00 pede-se que calcule o total gasto para comprar essas ações.

Para ajudar com o raciocínio vamos organizar esses dados em tabelas.

Desenho sem título

Como você pode ver eu organizei as tabelas de um jeito não muito ortodoxo, você já vai entender porque fiz dessa forma.

Mas antes de discutirmos isso vamos dar uma olhada como que é feita a multiplicação de matrizes.

supomos as seguintes matrizes:

$A_{ij}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ $B_{ij}= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Existe algumas definições formais para multiplicações de matrizes mas eu irei utilizar uma maneira mais pratica.

A multiplicação das matrizes acima vai ficar dessa forma.

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix}$

A primeira regra que temos que lembrar é que para multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira deve ser igual ao número de colunas da segunda.

e a matriz resultante terá o mesmo número de linhas da primeira e mesmo número de colunas que a segunda vamos chama-la de $C_{ij}$ , com base nessas informação sabemos que a matriz será quadrada 2x2 vamos obter o elemento da primeira linha e primeira coluna dessa matriz ou elemento $C_{1,1}$ :

pegamos a primeira linha da matriz $A_{ij}$ e multiplicamos pela primeira coluna da matriz $B_{ij}$ :

$C_{1,1} = (1*2)+(2*4)+(3*2) = 16$

pronto temos o o elemento [latex]C_{1,1}[/latex] gora iremos repetir o procedimento ate achar todos os elementos.

$C_{1,2}= (1*1)+(2*3)+(3*4) = 19$
$C_{2,1} = (5*2)+(1*4)+(3*2) = 20$
$C_{2,2} = (5*1)+(1*3)+(3*4) = 20$

Agora que já temos todos os elementos da matriz vamos organiza-la.

$C_{ij} = \begin{bmatrix} 16 & 19\\ 20 & 20 \\ \end{bmatrix}$

pronto fizemos a multiplicação de matrizes, agora vamos voltar a nosso exemplo inicial.

Desenho sem título

Vamos primeiro colocar essas tabela como matrizes vamos fazer a matriz $P_{ij}$ de preços e a matriz $Q_{ij}$ de quantidades:

$P_{ij} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix}$ $Q_{ij} = \begin{bmatrix} 19 \\ 12 \\ 73 \\ 46 \\ \end{bmatrix}$

Feito isso basta realizar o mesmo procedimento citado acima as linhas da primeira matriz vezes as colunas da segunda e obtemos como resultado 1088 no caso teremos uma matriz de uma linha e uma coluna.

Mas agora vamos deixar as coisas mais interessantes. como sabemos os preços das ações variam com o passar do tempo devido as intempéries do mercado, então iremos acrescentar mais uma linha a nossa matriz de preços, a linha preço de venda, para sabermos como uma variação em um dos elementos da linha afeta o lucro do acionista.

Desenho sem título

Agora olhe que a primeira linha da matriz é o preço de compra e a segunda é o preço de venda assim temos :

$P_{ij} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 6 & 9 \\ 8 & 1 & 9 & 8\\ \end{bmatrix}$ $Q_{ij} = \begin{bmatrix} 19 \\ 12 \\ 73 \\ 46 \\ \end{bmatrix}$

realizando a multiplicação teremos a seguinte matriz que chamarei de $R_{ij}$ :

$R_{ij} = \begin{bmatrix} 1088 \\ 1189\\ \end{bmatrix}$

Na primeira linha temos o custo das ações e na segunda o valor que ele ganhou vendendo elas ou seja ouve um lucro, antes de finalizarmos vamos acrescentar mais uma coluna na tabela de quantidades.

Desenho sem título

Repare com calma, agora houve uma variação na quantidade de ações por exemplo a ação A possuía uma quantidade de 19 depois passo para 73, o mesmo ocorre com as outras, vamos analisar como isso afeta o lucro e o valor de compra nesse cenário.

Primeiro vamos redefinir as matrizes:

$P_{ij} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 6 & 9 \\ 8 & 1 & 9 & 8\\ \end{bmatrix}$ $Q_{ij} = \begin{bmatrix} 19 & 73 \\ 12 & 91\\ 73 & 8 \\ 46 & 26\\ \end{bmatrix}$

Depois de realizarmos a multiplicação de matrizes usando o método já explicado acima vamos obter a seguinte matriz:

$R_{ij} = \begin{bmatrix} 1088 & 1503 \\ 1189 & 955\\ \end{bmatrix}$

Observe a primeira coluna da matriz temos o preço de compra e venda com a primeira quantidade e na segunda coluna temos o preço de compra e venda com a segunda quantidade nesse caso ele teria um prejuízo.

Tente assimilar a operação de multiplicação e depois observar com bastante calma a matriz resultante e a tabela.

Muito bem caro leitor se você leu ate aqui muito obrigado pela atenção, é claro que esse exemplo é só ilustrativo,poderíamos acrescentar uma quantidade muito maior de linhas e colunas nessas matrizes alias é isso que ocorre na vida real, principalmente quando querem simular vários cenários para um determinado acontecimento.

E não esqueça que calcular usando matrizes é uma tarefa trabalhosa por isso na pratica usamos softwares ou linguagens de programação como Python e R por exemplo.

E por fim se você que leu esse post não gostou não se acanhe fale o porque que eu trato de fazer melhor na próxima, pra você que leu e gostou mas achou que pode ficar melhor só deixar uma dica nos comentários que estará me ajudando muito.