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Questão Indução Finita #001
Foto de Léo G.
Por: Léo G.
15 de Julho de 2016

Questão Indução Finita #001

Matemática

QUESTÃO IF #001

Demonstre, por indução, que

\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{n}\leq n, n\geq 3.

 

RESOLUÇÃO

Observação:

  \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}\cdot

 

Vale para n = 3: 

 \left (\frac{4}{3} \right )^{3}<3\Leftrightarrow 4^{3}<3^{4}\Leftrightarrow 64<81.

 

Se vale para n = k, então vale para n = k +1:

 k<k+1\Leftrightarrow \frac{1}{k+1}<\frac{1}{k}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{k+1}<1+\frac{1}{k}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left (1+\frac{1}{k+1} \right )^{k}<\left (1+\frac{1}{k} \right )^{k}\leq k\Leftrightarrow \left (1+\frac{1}{k+1} \right )^{k+1}<k\left (1+\frac{1}{k+1} \right )=

=k+\frac{k}{k+1}<k+1\Leftrightarrow \left (1+\frac{1}{k+1} \right )^{k+1}<k+1.

 

O que completa a indução.

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Foto de Léo G. Léo G. há 9 anos

n = 1:
(2/1)^1 < 1
2 < 1 FALSO !!!

n = 2:
(3/2)^2 < 2
9/4 < 2
9 < 8 FALSO !!!

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