A matriz inversa
Márcio L.
em 19 de Julho de 2019

No mundo da matemática, especificamente quando o assunto é matrizes, é comum nos depararmos com este tipo de matriz, a chamada matriz inversa. Mas afinal, o que ela é e para que serve?

Para responder à primeira pergunta, vamos fazer um paralelo numérico e simples para resolver o seguinte problema: Se a é diferente de zero e ax = b, a solução para esta equação é: x = a^{-1}b.

Para demonstrar que é uma solução, vamos substituir x na equação:

 a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = (1)b = b

Para saber se solução é única, vamos admitir que existam duas soluções, x_{1} e x_{2}:

ax_{1}=b=ax_{2} 

Igualando somente as extremidades:

 ax_{1}=ax_{2}

Multiplicando os dois lados por a^{-1}:

a^{-1}(ax_{1})=a^{-1}(ax_{2})

(a^{-1}a)x_{1}=(a^{-1}a)x_{2}

(1)x_{1}=(1)x_{2}

Logo, x_{1}=x_{2} e a solução é única.

Ao número a^{-1} chamamos de inverso ou recíproco de a e ao multiplicá-lo na equação acima  significa o mesmo que dividir por a. Em relação às matrizes, a operação de divisão não está definida, mas a inversão de uma matriz sim. Estes argumentos mostram que, juntamente com a propriedade associativa, as propriedades aa^{-1}=1  e  a^{-1}a=1 são elementos chave para resolver uma equação matricial da mesma forma que resolvemos uma equação escalar.

 

Inversão matricial

Dado uma matriz A_{nxn} a matriz B_{nxn} que satisfaz as condições

 AB=BA=I_{n}

é chamada de inversa de A e é denotada por B=A^{-1} e I_{n} é a matriz identidade de ordem n.

Convém notar que nem todas as matrizes são inversíveis, a matriz nula (todos os elementos zerados) é um exemplo trivial. Uma matriz inversível é dita ser não singular e a matriz quadrada que não possui inversa é chamada de matriz singular.

Note que a inversão matricial é definida somente para matrizes quadradas.

 

Exemplo

Para ilustrarmos o que foi dito, vamos considerar este exemplo:

A =\begin{bmatrix}  4 & 7\\   2 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix}  0,6 & -0,7\\   -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}

A pergunta é: B é a matriz inversa de A? Para respondermos a ela basta sabermos se ela atende às condições da inversão matricial:

AB =\begin{bmatrix}  4 & 7\\   2 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0,6 & -0,7\\   -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}

AB =\begin{bmatrix}  4.0,6+7.(-0,2) & 4.(-0,7)+7.0,4\\   2.0,6+6.(-0,2) & 2.(-0,7)+6.0,4 \end{bmatrix}

AB =\begin{bmatrix}  2,4-1,4 & -2,8+2,8\\   1,2-1,2 & -1,4+2,4 \end{bmatrix}

AB =\begin{bmatrix}  1 & 0\\   0 & 1 \end{bmatrix}

Agora precisamos comutar A e B:

BA =\begin{bmatrix}  0,6 & -0,7\\   -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  4 & 7\\   2 & 6 \end{bmatrix}

BA =\begin{bmatrix}  4.0,6+2.(-0,7) & 7.0,6+6.(-0,7)\\   4.(-0,2)+2.0,4 & 7.(-0,2)+6.0,4 \end{bmatrix}

BA =\begin{bmatrix}  2,4-1,4 & 4,2-4,2\\   -0,8+0,8 & -1,4+2,4 \end{bmatrix}

BA =\begin{bmatrix}  1 & 0\\   0 & 1 \end{bmatrix}

Ou seja:

AB=BA=I_{2}

E portanto B é a matriz inversa de A, ou B=A^{-1}.

No próximo artigo vamos falar sobre a matriz adjunta e como encontrar a matriz inversa por meio dela.

 

Referências

 

  1. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8Chapter 2, page 71
  2. EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
  3. A.J. Laub, Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.
  4. C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
  5. R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
  6. Lipschutz, S. "Invertible Matrices." Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.

 

 

 

 

 

 

 

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