A matriz inversa

No mundo da matemática, especificamente quando o assunto é matrizes, é comum nos depararmos com este tipo de matriz, a chamada matriz inversa. Mas afinal, o que ela é e para que serve?

Para responder à primeira pergunta, vamos fazer um paralelo numérico e simples para resolver o seguinte problema: Se a é diferente de zero e , a solução para esta equação é: .

Para demonstrar que é uma solução, vamos substituir x na equação:

Para saber se solução é única, vamos admitir que existam duas soluções,  e :

Igualando somente as extremidades:

Multiplicando os dois lados por :

Logo,  e a solução é única.

Ao número  chamamos de inverso ou recíproco de a e ao multiplicá-lo na equação acima  significa o mesmo que dividir por a. Em relação às matrizes, a operação de divisão não está definida, mas a inversão de uma matriz sim. Estes argumentos mostram que, juntamente com a propriedade associativa, as propriedades   e   são elementos chave para resolver uma equação matricial da mesma forma que resolvemos uma equação escalar.

Inversão matricial

Dado uma matriz  a matriz  que satisfaz as condições

é chamada de inversa de A e é denotada por  e  é a matriz identidade de ordem n.

Convém notar que nem todas as matrizes são inversíveis, a matriz nula (todos os elementos zerados) é um exemplo trivial. Uma matriz inversível é dita ser não singular e a matriz quadrada que não possui inversa é chamada de matriz singular.

Note que a inversão matricial é definida somente para matrizes quadradas.

Exemplo

Para ilustrarmos o que foi dito, vamos considerar este exemplo:

A pergunta é: B é a matriz inversa de A? Para respondermos a ela basta sabermos se ela atende às condições da inversão matricial:

Agora precisamos comutar A e B:

Ou seja:

E portanto B é a matriz inversa de A, ou .

No próximo artigo vamos falar sobre a matriz adjunta e como encontrar a matriz inversa por meio dela.

Referências

1. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8, Chapter 2, page 71
2. EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
3. A.J. Laub, Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.
4. C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
5. R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
6. Lipschutz, S. "Invertible Matrices." Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.