A matriz inversa

Parte 1: o que é, para que serve?

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No mundo da matemática, especificamente quando o assunto é matrizes, é comum nos depararmos com este tipo de matriz, a chamada matriz inversa. Mas afinal, o que ela é e para que serve?

Para responder à primeira pergunta, vamos fazer um paralelo numérico e simples para resolver o seguinte problema: Se a é diferente de zero e $ax = b$ , a solução para esta equação é: $x = a^{-1}b$ .

Para demonstrar que é uma solução, vamos substituir x na equação:

$a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = (1)b = b$

Para saber se solução é única, vamos admitir que existam duas soluções, $x_{1}$ e $x_{2}$ :

$ax_{1}=b=ax_{2}$

Igualando somente as extremidades:

$ax_{1}=ax_{2}$

Multiplicando os dois lados por $a^{-1}$ :

$a^{-1}(ax_{1})=a^{-1}(ax_{2})$

$(a^{-1}a)x_{1}=(a^{-1}a)x_{2}$

$(1)x_{1}=(1)x_{2}$

Logo, $x_{1}=x_{2}$ e a solução é única.

Ao número $a^{-1}$ chamamos de inverso ou recíproco de a e ao multiplicá-lo na equação acima significa o mesmo que dividir por a. Em relação às matrizes, a operação de divisão não está definida, mas a inversão de uma matriz sim. Estes argumentos mostram que, juntamente com a propriedade associativa, as propriedades $aa^{-1}=1$ e $a^{-1}a=1$ são elementos chave para resolver uma equação matricial da mesma forma que resolvemos uma equação escalar.

Inversão matricial

Dado uma matriz $A_{nxn}$ a matriz $B_{nxn}$ que satisfaz as condições

$AB=BA=I_{n}$

é chamada de inversa de A e é denotada por $B=A^{-1}$ e $I_{n}$ é a matriz identidade de ordem n.

Convém notar que nem todas as matrizes são inversíveis, a matriz nula (todos os elementos zerados) é um exemplo trivial. Uma matriz inversível é dita ser não singular e a matriz quadrada que não possui inversa é chamada de matriz singular.

Note que a inversão matricial é definida somente para matrizes quadradas.

Exemplo

Para ilustrarmos o que foi dito, vamos considerar este exemplo:

$A =\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 0,6 & -0,7\\ -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}$

A pergunta é: B é a matriz inversa de A? Para respondermos a ela basta sabermos se ela atende às condições da inversão matricial:

$AB =\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0,6 & -0,7\\ -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}$

$AB =\begin{bmatrix} 4.0,6+7.(-0,2) & 4.(-0,7)+7.0,4\\ 2.0,6+6.(-0,2) & 2.(-0,7)+6.0,4 \end{bmatrix}$

$AB =\begin{bmatrix} 2,4-1,4 & -2,8+2,8\\ 1,2-1,2 & -1,4+2,4 \end{bmatrix}$

$AB =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Agora precisamos comutar A e B:

$BA =\begin{bmatrix} 0,6 & -0,7\\ -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}$

$BA =\begin{bmatrix} 4.0,6+2.(-0,7) & 7.0,6+6.(-0,7)\\ 4.(-0,2)+2.0,4 & 7.(-0,2)+6.0,4 \end{bmatrix}$

$BA =\begin{bmatrix} 2,4-1,4 & 4,2-4,2\\ -0,8+0,8 & -1,4+2,4 \end{bmatrix}$

$BA =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Ou seja:

$AB=BA=I_{2}$

E portanto B é a matriz inversa de A, ou $B=A^{-1}$ .

No próximo artigo vamos falar sobre a matriz adjunta e como encontrar a matriz inversa por meio dela.

Referências

Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8, Chapter 2, page 71
EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
A.J. Laub, Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.
C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
Lipschutz, S. "Invertible Matrices." Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.