A matriz inversa 2

Parte 2: como encontrar? A matriz adjunta

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No artigo anterior, vimos a definição da matriz inversa, a sua analogia com o inverso de um escalar e a sua utilidade em uma equação matricial. Neste artigo iremos discutir duas formas de econtrá-la: através das suas propriedades e através da matriz adjunta.

Exemplo 1

Encontre a inversa da matriz A abaixo:

$A = \begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}$

Resposta: vamos chamar a matriz inversa de A que queremos encontrar de X. Utilizando a propriedade da matriz inversa:

$AX = I_{2}$

$\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Sabemos que a matriz X possui dimensão nxn, logo ela terá a seguinte forma:

$X = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

Substituindo na equação anterior:

$\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

O que nos leva ao seguinte sistema de equações lineares:

$\left\{\begin{matrix} 4a+7c=1\\ 4b+7d=0\\ 2a+6c=0\\ 2b+6d=1 \end{matrix}\right.$

E, dado o sistema acima, pode ser subdividido em outros dois sistemas:

$\left\{\begin{matrix} 4a+7c=1\\ 2a+6c=0\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 4b+7d=0\\ 2b+6d=1 \end{matrix}\right.$

Resolvendo o primeiro sistema, encontramos: a = 0,6 e c = -0,2

Resolvendo o segundo sistema, encontramos:b = -0,7 e d = -0,4

E então a solução é:

$X = \begin{bmatrix} 0,6 & -0,7\\ -0,2 & 0,4 \end{bmatrix}$

Que é a matriz inversa do exemplo do artigo anterior.

Por meio deste exemplo, percebe-se que calcular a inversa de uma matriz utilizando a sua definição pode ser um método trabalhoso e a sua complexidade cresce de acordo com a dimensão da matriz. Se a matriz for de dimensão 3x3 o sistema seria de 9 equações e 9 incógnitas, se for de 4x4 o sistema seria 16 equações e 16 incognitas, e assim por diante. Uma forma alternativa de encontrar a matriz inversa se dá por meio da matriz adjunta, mas antes de estudá-la precisamos definir o cofator e a matriz dos cofatores a seguir

Cofator

O cofator de uma matriz quadrada $A_{nxn}$ associado com a (i,j)-posição é definida como:

$\AA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

Onde M_ij é o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna da matriz original que contenha o elemento a_ij.

Exemplo 1

Encontre o cofator do elemento a₂₂ da matriz abaixo:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Aplicando a definição de cofator:

$\AA_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1.(1.1-1.0)=1$

Matriz de cofatores

Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por $C$ ou $\AA$ a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original A.

Exemplo 2

Vamos encontrar a matriz dos cofatores do exemplo 1:

$\AA_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1.((-1).1-0.0)=-1$

$\AA_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=(-1).(2.1-1.0)=-2$

$\AA_{13} =(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{vmatrix}=1.(2.0-(-1).1)=1$

$\AA_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix}=(-1).(2.1-0.0)=-2$

$\AA_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0 \end{vmatrix}=(-1).(0.1-1.2)=2$

$\AA_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 2 & 0\\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1.(0.2-1.0)=0$

$\AA_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 2 & 0 \end{vmatrix}=(-1).(0.1-2.0)=0$

$\AA_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=1.((-1).1-2.2)=-5$

E portato a matriz dos cofatores de A é:

$\AA =\begin{bmatrix} \AA_{11} & \AA_{12} & \AA_{13}\\ \AA_{21} & \AA_{22} & \AA_{23}\\ \AA_{31} & \AA_{32} & \AA_{33} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & -2 & 1\\ -2 & 1 & 2\\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}$

Matriz adjunta

Definimos a matriz adjunta de A como sendo a matriz transponsta da matriz dos cofatores de A:

$adj(A)=\AA^{T}$

Exemplo 3

Encontre a matriz adjunta do exemplo 1.

Resposta: como já calculamos a matriz dos cofatores de A no exemplo 2, basta fazer a sua transposta para determinar a matriz adjunta.

$adj(A)=\AA^{T} = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 1\\ -2 & 1 & 2\\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}$

A esta altura você deve estar se perguntando: "Afinal, para que serve esta matriz adjunta?" E a resposta correta seria para calcular a matriz inversa, como veremos a seguir.

Cálculo da matriz inversa usando a matriz adjunta

Uma condição obrigatória para a existência da matriz inversa é que ela seja não singular, e para isso o seu determinante deve ser não nulo. Se isso ocorrer podemos calcular a inversa de uma matriz utilizando a seguinte fórmula (a demonstração pode ser encontrada em [4]):

$A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}$

Calculando o determinante de A:

$det(A)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}=-5$

Aplicando a fórmula acima:

$A^{-1}=\frac{\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}}{-5}=\begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 & 0\\ 2/5 & -1/5 & 0\\ -1/5 & -2/5 & 1 \end{bmatrix}$

Conclusão

Comparando o primeiro com o segundo método, percebe-se que o primeiro pode ser mais complexo por envolver sistemas lineares, enquanto que o segundo o cálculo é feito de forma direta. Apesar disso, envolve igualmente muitas operações matemáticas e pode ser muito trabalhoso conforme aumenta a ordem da matriz. No próximo artigo explicarei outra forma de encontrar a matriz inversa por meio da eliminação de Gauss-Jordan.

Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8, Chapter 2, page 71
EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
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C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
Lipschutz, S. "Invertible Matrices." Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.