A matriz inversa 2

No artigo anterior, vimos a definição da matriz inversa, a sua analogia com o inverso de um escalar e a sua utilidade em uma equação matricial. Neste artigo iremos discutir duas formas de econtrá-la: através das suas propriedades e através da matriz adjunta.

Exemplo 1

Encontre a inversa da matriz A abaixo:

Resposta: vamos chamar a matriz inversa de A que queremos encontrar de X. Utilizando a propriedade da matriz inversa:

Sabemos que a matriz X possui dimensão nxn, logo ela terá a seguinte forma:

Substituindo na equação anterior:

O que nos leva ao seguinte sistema de equações lineares:

E, dado o sistema acima, pode ser subdividido em outros dois sistemas:

Resolvendo o primeiro sistema, encontramos: a = 0,6 e c = -0,2

Resolvendo o segundo sistema, encontramos:b = -0,7 e d = -0,4

E então a solução é:

Que é a matriz inversa do exemplo do artigo anterior.

Por meio deste exemplo, percebe-se que calcular a inversa de uma matriz utilizando a sua definição pode ser um método trabalhoso e a sua complexidade cresce de acordo com a dimensão da matriz. Se a matriz for de dimensão 3x3 o sistema seria de 9 equações e 9 incógnitas, se for de 4x4 o sistema seria 16 equações e 16 incognitas, e assim por diante. Uma forma alternativa de encontrar a matriz inversa se dá por meio da matriz adjunta, mas antes de estudá-la precisamos definir o cofator e a matriz dos cofatores a seguir

Cofator

O cofator de uma matriz quadrada  associado com a (i,j)-posição é definida como:

Onde M_ij é o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna da matriz original que contenha o elemento a_ij.

Exemplo 1

Encontre o cofator do elemento a₂₂ da matriz abaixo:

Aplicando a definição de cofator:

Matriz de cofatores

Chamamos de matriz dos cofatores, e representamos por  ou  a matriz formada por todos os cofatores de uma matriz original A.

Exemplo 2

Vamos encontrar a matriz dos cofatores do exemplo 1:

E portato a matriz dos cofatores de A é:

Matriz adjunta

Definimos a matriz adjunta de A como sendo a matriz transponsta da matriz dos cofatores de A:

Exemplo 3

Encontre a matriz adjunta do exemplo 1.

Resposta: como já calculamos a matriz dos cofatores de A no exemplo 2, basta fazer a sua transposta para determinar a matriz adjunta.

A esta altura você deve estar se perguntando: "Afinal, para que serve esta matriz adjunta?" E a resposta correta seria para calcular a matriz inversa, como veremos a seguir.

Cálculo da matriz inversa usando a matriz adjunta

Uma condição obrigatória para a existência da matriz inversa é que ela seja não singular, e para isso o seu determinante deve ser não nulo. Se isso ocorrer podemos calcular a inversa de uma matriz utilizando a seguinte fórmula (a demonstração pode ser encontrada em [4]):

Calculando o determinante de A:

Aplicando a fórmula acima:

Conclusão

Comparando o primeiro com o segundo método, percebe-se que o primeiro pode ser mais complexo por envolver sistemas lineares, enquanto que o segundo o cálculo é feito de forma direta. Apesar disso, envolve igualmente muitas operações matemáticas e pode ser muito trabalhoso conforme aumenta a ordem da matriz. No próximo artigo explicarei outra forma de encontrar a matriz inversa por meio da eliminação de Gauss-Jordan.

1. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8, Chapter 2, page 71
2. EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
3. A.J. Laub, Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.
4. C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
5. R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
6. Lipschutz, S. "Invertible Matrices." Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 44-45, 1991.