Sistemas Lineares

O que é, como classificar e a regra de Cramer

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Equação linear

Uma equação é dita linear nas variáveis x₁,x₂,...x_n quando pode ser escrita da seguinte forma:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=b$

ou, expandindo a expressão:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$

Onde b (termo independente) e os coeficientes a₁,a₂,...a_n são números reais ou complexos, e n pode ser qualquer número inteiro positivo.

Exemplo 1

A equação abaixo

$3x_{1}-5x_{2}+7x_{3}=8$

É uma equação linear nas variáveis x₁,x₂,x₃ , coeficientes 3,-5 e 7 e termo independente 8.

Exemplo 2

A equação abaixo

$2x+12y-3z+w=1$

É uma equação linear nas variáveis x,y,z,w , coeficientes 2,12,-3,1 e termo independente 1.

Exemplo 3

A equação abaixo

$x_{2}=2(\sqrt{6}-x_{1})+x_{3}$

Também é linear pois pode ser rearranjada de forma algebricamente como forma geral:

$2x_{1}+x_{2}-x_{3}=2\sqrt{6}$

Exemplo 4

As equações abaixo:

$4x_{1}-5x_{2}=x_{1}x_{2}$

e $x_{2}=2\sqrt{x_{1}}-6$

São não lineares pela presença do termo x₁x₂ na primeira equação e $\sqrt{x_{1}}$ na segunda.

Sistemas lineares

Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear (SL) é um conjunto de uma ou mais equações lineares envolvendo as mesmas variáveis x₁,x₂,...x_n.

Exemplo 4

A equação abaixo

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-x_{2}+1,5x_{3}=8\\ x_{1}\! \; \; \; \; \! \; \; \; \; \; \; \; -4x_{3}=-7 \end{matrix}\right.$

É um sistema linear com duas equações e três incógnitas (ordem 2x3). Note que a variável x₂ possui coeficiente 0 na segunda equação.

Solução de um sistema linear

Uma solução de um sistema linear é uma lista ordenada (s₁,s₂,...s_n) de números que fazem cada equação ser verdadeira quando substituimos os valores s₁,s₂,...s_n em x₁,x₂,...x_n respectivamente. Por exemplo, (5, 6.5,3) é uma solução do sistema do exemplo 4, pois quando substituimos estes valores em x₁,x₂,x₃ respectivamente, as equações se reduzem a 8 = 8 e -7 = -7.

O conjunto de todas as soluções possíveis é chamado de conjunto de soluções do sistema linear. Dois sistemas lineares são chamados equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções, isto é, cada solução do primeiro sistema é uma solução do segundo sistema, e cada solução do segundo sistema é uma solução do primeiro.

Exemplo 5

Os sistemas abaixo são equivalentes, pois possuem a mesma solução única (1,2) ou x = 1 e y =2.

$\text{[math]}$ $\left\{\begin{matrix} 3x+4y=11\\ 8x-5y=-2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} -5x+y=-3\\ x+2y=5 \end{matrix}\right.$

Classificação de um sistema linear

Podemos classificar um sistema linear de acordo com seu conjunto de soluções, que existem três possibilidades:

Sistema impossível ou sem solução
Sistema possível e determinado (uma única solução)
Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções)

O sistema linear é chamado de consistente se tiver ao menos uma solução e inconsistente se não tiver nenhuma solução.

Exemplo 6

O sistema abaixo representa um sistema possível e determinado.

$\left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}=-1\\ -x_{1}+3x_{2}=3 \end{matrix}\right.$

Geometricamente podemos representar a sua solução como a intersecção de duas retas sendo l₁ a equação de cima e l₂ a equação de baixo:

Exatamente uma solução [1]

Figura 1 - exatamente uma solução [6]

Exemplo 6

O sistema abaixo representa um sistema impossível.

$\left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}=-1\\ -x_{1}+2x_{2}=3 \end{matrix}\right.$

Neste caso, as l₁ e l₂ são paralelas, ou seja, nunca se cruzam e por isso não há solução como está mostrado na Figura 2 abaixo:

Figura 2 - sem solução

Figura 2 - Sem solução [6]

Exemplo 6

O sistema abaixo representa um sistema possível e indeterminado.

$\left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}=-1\\ -x_{1}+2x_{2}=1 \end{matrix}\right.$

Para este sistema as retas l₁ e l₂ são coincidentes e por isso temos infinitas soluções como representado pela Figura 3 abaixo:

Figura 3 - Sistema possível e indeterminado [6]

Notação matricial

É possível compactar as informações de um sistema linear em uma matriz retangular de dimensão m_x(n+1), onde m é o número de equações ou linhas e n o número de incógnitas:

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\vdots \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{n} \end{matrix}\right. \rightarrow B= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2}\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{m} \end{bmatrix}$

A esta matriz chamamos de matriz completa do sistema (B). Podemos também resumir o sistema a uma equação matricial na forma Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor incógnita e b é o vetor dos termos independentes, conforme mostrado abaixo:

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix},\; \; x=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix},\; \; b=\begin{bmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$

No caso particular do sistema tiver n equações e n incógnitas, podemos utilizar a matriz inversa de A para solucionar o sistema, bastando para isso multiplicar os dois lados da equação por A^-1:

$A^{-1}Ax=A^{-1}b\;\; \rightarrow\;\; I_{n}x=A^{-1}b \;\; \rightarrow \;\;x=A^{-1}b$

Para resolver desta forma é preciso conhecer a inversa da matriz A, assunto tratado nos meus artigos "A matriz inversa" e "A matriz inversa 2" onde recomendo a leitura acessando os links abaixo.

https://profes.com.br/prof_marcio/blog/a-matriz-inversa

https://profes.com.br/prof_marcio/blog/a-matriz-inversa-2

Exemplo 7

Dado o sistema linear abaixo, encontre a matriz completa, a matriz dos coeficientes e represente na forma vetorial as incognitas e os termos independentes.

$\left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\ \; \; \; \; \; \; 2x_{2}-8x_{3}=8\\ 5x_{1}\; \; \; \; \; \; \; \: -5x_{3}=10\\ \end{matrix}\right.$

Resposta: temos um sistema 3x3, logo a matriz dos coeficientes A será também 3x3 e a matriz completa B com dimensão 3x4:

$A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 2 & -8\\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{a_{1}}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 5 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{a_{2}}=\begin{bmatrix} -2\\ 2\\ 0 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{a_{3}}=\begin{bmatrix} 1\\ -8\\ -5 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} 0\\ 8\\ 10 \end{bmatrix}$

Discussão e análise do sistema linear

Há situações em que nos deparamos com coeficientes desconhecidos e a partir deles é possível determinar para quais valores temos um sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado ou sistema impossível. Esta análise é feita através do determinante da matriz dos coeficientes A que iremos chamar aqui de D (det(A)), e então teremos as seguintes situações:

$\left\{\begin{matrix} D\neq 0\rightarrow Sistema\; possivel\; e\; determinado\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ D= 0\rightarrow Sistema\; possivel\; e\; indeterminado \;ou \;sistema\;impossivel\\ \end{matrix}\right.$

Observação 1: Note que para esta discussão o sistema deve necessariamente ser n_xn, ou seja, a matriz A quadrada.

Observação 2: Faz sentido a observação 1, pois fazendo a análise por meio de equação matricial, deve existir a matriz inversa de A que é garantida com o determinante não nulo (matriz não singular).

Exemplo 8 (retirado de [8])

Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k temos um sistema possível e determinado (SD), sistema possível e indeterminado (SPI) e sitema impossível (SI).

$\left\{\begin{matrix} mx+4y=2 \\ 6x+4y=k\\ \end{matrix}\right.$

Resposta: Temos que determinar o valor do determinante D e analisar os parâmetros. Portanto, temos que:

$D=det(A)=\begin{vmatrix} m & 4\\ 6 & 4 \end{vmatrix}=4m-24$

1) Para o sistema ser SPD, D deve ser diferente de zero:

$D=4m-24\neq 0\rightarrow 4m\neq 24\rightarrow m\neq 6$

Caso D seja igual a zero (m = 6) , temos o sistema a seguir:

$\left\{\begin{matrix} 6x+4y=2\\ 6x+4y=k \end{matrix}\right.$

Subtraindo as duas equações lado a lado, obtemos:

$0=2-k$

De onde iremos decidir a seguir se o sistema é SPI ou SI.

2) Caso $k = 2$ , a equação se torna 0 = 0 e então o sistema se reduz apenas à primeira equação e o se torna um SPI.

3) Caso $k\neq 0$ , a equação se torna $0\neq 0$ , o que é impossível e então o sistema é SI.

Resumindo:

$\left\{\begin{matrix} m\neq 6\rightarrow sistema\; possivel \; e\; determinado\\ m= 6\; e\; k=2\rightarrow sistema\; possivel \; e\; indeterminado\\ m= 6\; e\; k\neq 2\rightarrow sistema\; impossivel \end{matrix}\right.$

Até o momento definimos, identificamos e analisamos um sistema linear, mas ainda não aplicamos nenhum método para resolvê-lo. Neste item iremos explicar a regra de Cramer, mas que só pode ser utilizado em sistemas com igual número de equações e incógnitas.

Para facilitar o entendimento, vamos fazer a matriz A como uma composição de colunas ou vetores a_i de coeficientes e b como o vetor dos termos independentes. Assim, podemos reescrever a matriz A como:

$A=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_{1}} & \boldsymbol{a_{2}} & ... & \boldsymbol{a_{n}} \end{bmatrix}$

No caso do exemplo 7, a₁, a₂, a₃ e b, seriam:

$\boldsymbol{a_{1}}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 5 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{a_{2}}=\begin{bmatrix} -2\\ 2\\ 0 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{a_{3}}=\begin{bmatrix} 1\\ -8\\ -5 \end{bmatrix},\; \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix} 0\\ 8\\ 10 \end{bmatrix}$

Regra de Cramer

Para qualquer matriz $A_{nxn}$ e qualquer b em $\mathbb{R}^{n}$ , designaremos A_i(b) a matriz obtida de A substituindo a coluna a_i pela coluna b. Desta forma:

$A=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_{1}} & \boldsymbol{a_{2}} & ... & \boldsymbol{a_{i}} & ... & \boldsymbol{a_{n}} \end{bmatrix}\rightarrow A_{i}(b)=\begin{bmatrix} \boldsymbol{a_{1}} & \boldsymbol{a_{2}} & ... & \boldsymbol{b} & ... & \boldsymbol{a_{n}} \end{bmatrix}$

A regra de Cramer nos diz que para uma matriz não singular (inversível) A de dimensão nxn e b em $\mathbb{R}^{n}$ a equação Ax = b possui solução única para cada elemento de x:

$x_{i}=\frac{det(A_{i}(b))}{det(A)}=\frac{\left | A_{i}(b) \right |}{\left | A \right |}$

para i = 1,2,3,...,n

Exemplo 9 [6]

Resolva sistema linear do exemplo 7 utilizando a regra de Cramer.

Resposta: Vamos encontrar o A_i(b) de cada coluna da matriz A:

$A_{1}(b)=\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1\\ 8 & 2 & -8\\ 10 & 0 & -5 \end{bmatrix},\; A_{2}(b)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 8 & -8\\ 5 & 10 & -5 \end{bmatrix}\; A_{3}(b)=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 8\\ 5 & 0 & 10 \end{bmatrix}$

Agora calculando o determinante de cada matriz:

det(A) = 60

det(A₁(b)) = 60

det(A₂(b)) = 0

det(A₃(b)) = -60

Aplicando a regra de Cramer para cada elemento de x:

$x_{1}=\frac{det(A_{1}(b))}{det(A))}=\frac{60}{60}=1$

$x_{2}=\frac{det(A_{2}(b))}{det(A))}=\frac{0}{60}=0$

$x_{3}=\frac{det(A_{3}(b))}{det(A))}=\frac{-60}{60}=-1$

E então a solução do sistema é (1,0,-1).

Podemos representar geometricamente esta solução como a interseção de 3 planos distintos conforme a Figura 4:

Figura 4 - exatamente uma solução [6]

Conclusão

Neste artigo definimos, estudamos, classificamos e mostramos uma forma de resolver os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer. Apesar de ser um método direto, solucionar o problema a partir do cálculo de determinantes se torna trabalhoso a medida que a dimensão da matriz aumenta, além do que exige que a matriz dos coeficientes seja quadrada ou n por n. No próximo artigo vou explicar um método relativamente mais simples utilizando o escalonamento. Em [10] é mostrado como calcular o determinante de matrizes 2x2 e 3x3.

Referências

Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8, Chapter 2, page 71
EZZI, Gelson e HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. Volume 4. São Paulo: Editora Atual, 2006.
A.J. Laub, Matrix Analysis for Scientists and Engineers, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004.
C.D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
R.A. Horn e C.R. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2ª edição, 2013.
David C Lay, “Linear Algebra and Its Applications”, Pearson Education, III Edition, 2003.
UFRGS. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s1-sistemas_lineares.html. Acesso em: 22 de julho de 2019.
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. "Discussão e análise do sistema linear"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm. Acesso em 22 de julho de 2019.
RAMOS, Danielle de Miranda. "Regra de Cramer"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm. Acesso em 22 de julho de 2019.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Determinantes"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm. Acesso em 23 de julho de 2019.

Eliane K. há 2 anos

Bom dia Professor.
Li seus artigos e são fantásticos.
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Márcio C.

Caxias do Sul / RS

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