Oiii, uma dúvida sobre demonstração de uma técnica de edos

Question

Olá, tudo bom? estava vendo a  demonstração da técnica de variação de parâmetros em EDOs.  A maioria  diz para supormos uma solução particular  p(x)=u1(x).y1(x)+u2(x).y2(x) Depois, ele fala para derivarmos e considerarmos u1'(x).y1(x)+u2'(x).y2(x)=0 A minha dúvida é meio simples: pq eles podem dizer que isso é igual a zero? Não entendi pq é possível pegar uma expressão aleatória do desenvolvimento e igualar a zero. Isso não altera o resultado final? Obrigadoo

Profes A. · Answer

Olá! Tudo bem? Claro, vou tentar explicar isso de uma forma clara!

Na técnica de variação de parâmetros, queremos encontrar uma solução particular para uma equação diferencial linear não homogênea da forma

y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = g (x) .

Assumimos que a solução geral da equação homogênea associada

y^{″} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0

é conhecida e dada por $y_{h} = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x)$ , onde $y_{1} (x)$ e $y_{2} (x)$ são soluções linearly independentes da equação homogênea e $c_{1}$ e $c_{2}$ são constantes.

Para encontrar uma solução particular $y_{p}$ da equação não homogênea, fazemos a seguinte suposição:

y_{p} = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x),

onde $u_{1} (x)$ e $u_{2} (x)$ são funções a serem determinadas.

Agora, por que consideramos a condição $u_{1}^{'} (x) y_{1} (x) + u_{2}^{'} (x) y_{2} (x) = 0$ ?

1. Simplicidade: Essa condição simplifica bastante os cálculos subsequentes. Ao derivar $y_{p}$ , obtemos

y_{p}^{'} = u_{1}^{'} y_{1} + u_{1} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2} + u_{2} y_{2}^{'} .

Se impusermos que $u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0$ , essa derivada se reduz a

y_{p}^{'} = u_{1} y_{1}^{'} + u_{2} y_{2}^{'} .

Isso é muito mais simples e facilita encontrar $u_{1} (x)$ e $u_{2} (x)$ .

2. Linearidade: Apesar de parecer que estamos impondo uma condição arbitrária, na realidade estamos apenas escolhendo uma "forma conveniente" para $y_{p}$ . A condição é escolhida para evitar redundância e linearidade nas escolhas das funções $u_{1}$ e $u_{2}$ . Não estamos perdendo nenhuma generalidade dessa maneira; ao contrário, estamos dissecando o problema para uma forma tratável.

3. Equações Simultâneas: A imposição adicional cria um sistema de duas equações com duas incógnitas para $u_{1}^{'}$ e $u_{2}^{'}$ . Isso nos permite resolver diretamente para essas derivadas e consequentemente integrar para encontrar $u_{1}$ e $u_{2}$ .

Por fim, ao derivar uma segunda vez, temos:

[ y_p'' = (u_1 y_1' + u_2 y_2')' = u_1' y_1' + u_1 y_1'' + u_2' y_2' + u_2 y_2''.\ ]

Substituindo $y_{p}$ , $y_{p}^{'}$ , e ${y_{p}^{'}}^{'}$ na equação original, e utilizando a condição $u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0$ , simplifica a equação e permite determinar $u_{1}$ e $u_{2}$ .

Resumindo, ao impor a condição $u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0$ , estamos fazendo uma escolha conveniente que simplifica nosso trabalho sem perder generalidade na solução. Isso nos possibilita resolver o sistema de equações necessário para determinar as funções $u_{1}$ e $u_{2}$ .

Espero que isso tenha esclarecido sua dúvida! Se precisar de mais informações, estarei por aqui.

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