Exercícios de vibrações mecânicas

Question

Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de 35 N/mm. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a 30% da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.

Profes A. · Answer

Para resolver o problema de um sistema vibratório massa-mola-amortecedor, é importante seguir uma sequência lógica utilizando as equações e conceitos apropriados.

Dado: - Massa, $m = 60 kg$ - Rigidez da mola, $k = 35 N/mm = 35000 N/m$ - Constante de amortecimento viscoso, $c = 0.3 c_{c}$ , onde $c_{c}$ é a constante de amortecimento crítico

a) Fator de Amortecimento

O fator de amortecimento $ζ$ é dado pela razão entre a constante de amortecimento $c$ e a constante de amortecimento crítico $c_{c}$ :

ζ = \frac{c}{c_{c}}

Dado que $c = 0.3 c_{c}$ :

ζ = 0.3

b) Constante de Amortecimento Crítico do Sistema

A constante de amortecimento crítico $c_{c}$ é definida como:

c_{c} = 2 \sqrt{k m}

Calculando $\sqrt{k m}$ :

\sqrt{k m} = \sqrt{35000 \times 60}

\sqrt{k m} = \sqrt{2100000}

\sqrt{k m} \approx 1449.14 Ns/m

Assim, $c_{c}$ é:

c_{c} = 2 \times 1449.14

c_{c} \approx 2898.28 Ns/m

c) Frequência Natural Amortecida

A frequência natural não amortecida $ω_{n}$ é:

ω_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}}

ω_{n} = \sqrt{\frac{35000}{60}}

ω_{n} \approx 24.13 rad/s

A frequência natural amortecida $ω_{d}$ é:

ω_{d} = ω_{n} \sqrt{1 - ζ^{2}}

ω_{d} = 24.13 \sqrt{1 - {0.3}^{2}}

ω_{d} = 24.13 \sqrt{1 - 0.09}

ω_{d} = 24.13 \sqrt{0.91}

ω_{d} \approx 22.98 rad/s

d) Decremento Logarítmico

O decremento logarítmico $δ$ é dado por:

δ = \frac{2 π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}

Substituindo $ζ = 0.3$ :

δ = \frac{2 π \times 0.3}{\sqrt{1 - {0.3}^{2}}}

δ = \frac{2 π \times 0.3}{\sqrt{0.91}}

δ = \frac{1.884}{0.953}

δ \approx 1.976

e) Razão de Duas Amplitudes Consecutivas da Oscilação

Para calcular a razão das amplitudes consecutivas $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ , utilizamos o decremento logarítmico:

\frac{x_{1}}{x_{2}} = e^{δ}

\frac{x_{1}}{x_{2}} = e^{1.976}

\frac{x_{1}}{x_{2}} \approx 7.21

Resumo dos Resultados:

a) Fator de amortecimento: $ζ = 0.3$

b) Constante de amortecimento crítico: $c_{c} \approx 2898.28 Ns/m$

c) Frequência natural amortecida: $ω_{d} \approx 22.98 rad/s$

d) Decremento logarítmico: $δ \approx 1.976$

e) Razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação: $\frac{x_{1}}{x_{2}} \approx 7.21$

Esses cálculos fornecem uma compreensão completa do comportamento dinâmico do sistema vibratório massa-mola-amortecedor dado.

Wesley R. · Answer

Ei temos que formular a edos para esse sistema, e logo resolvemos...

Hélio G. · Answer

O sistema é do tipo massa-mola amortecido. Se o amortecimento do sistema corresponde a 30% do valor crítico, significa que o fator de amortecimento do sistema é 0,3. Isto é:

Item a. (Fator de amortecimento):

; e logo

Item b. (Constante crítica de amortecimento)

A constante crítica de amortecimento é característica do sistema e depende apenas da massa e da rigidez . Sendo:

item c. (frequência natural amortecida)

A frequência natural é:

portanto a frequência natural amortecida é

item d. (razão de duas amplitudes consecutivas)

sendo o decremento logarítmico:

a razão entre as amplitudes e é:

Exercícios de vibrações mecânicas

a) Fator de Amortecimento

b) Constante de Amortecimento Crítico do Sistema

c) Frequência Natural Amortecida

d) Decremento Logarítmico

e) Razão de Duas Amplitudes Consecutivas da Oscilação

Resumo dos Resultados:

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