Oi Malen, o problema pode ser resolvido usando a desigualdade das médias (ou de Cauchy). A desigualdade afirma que a média aritmética é maior ou igual a média geométrica
.
Um grande número de problemas são resolvidos usando esta desigualdade. Principalmente problemas usados ??nas Olimpíadas do Ensino Médio
Vamos demonstrar a desigualdade (xy^n)^(n+1) < (a+nb)/(n+1), onde x e y são números internos e positivos, com x e y diferentes, e n é um número real positivo.
Começamos elevando ambos os lados da desigualdade à potência (n+1):
[(xy^n)^(n+1)]^(1/(n+1)) < [(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1))
Simplificando o lado esquerdo, temos:
xy^n < [(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1))
Agora, vamos demonstrar que [(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1)) > (a/n)^(1/n), o que é válido para todos os valores positivos de a, b e n.
Para isso, elevamos ambos os lados à potência (n+1):
[[(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1))]^(n+1) > [(a/n)^(1/n)]^(n+1)
Simplificando:
(a+nb) > a(n+1)/n
an + b > a(n+1)/n
an - a(n+1)/n > -b
a(n - (n+1))/n > -b
a(-1)/n > -b
-a/n > -b
a/n < b
A partir dessa última desigualdade, podemos concluir que [(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1)) > (a/n)^(1/n).
Portanto, temos que xy^n < [(a+nb)/(n+1)]^(1/(n+1)).
Assim, demonstramos que se x e y são números internos e positivos, com x e y diferentes, então temos que (xy^n)^(n+1) < (a+nb)/(n+1).
