Olá, Carol!
Para descobrirmos isso temos que usar o fato que um triângulo equilátero tem os três lados iguais. Além disso o segmento que representa cada lado será dado pelo vetores
AB = B - A
BC = C - B
CA = A - A
E precisamos que todos tenham o mesmo comprimento, ou seja, seus módulos devem ter o mesmo valor, fazendo as contas para os valores de (a) teriamos
AB = (-1,4) - (3,-4) = (-4,8)
BC = (4,12) - (-1,4) = (5,8)
CA = (3,-4) - (4,12) = (-1,-16)
Agora calculamos os módulos de cada lado
|AB| = |(-4,8)| = √((-4)² + 8²) = √(80)
|BC| = |(5,8)| = √(5² + 8²) = √(89)
Como dois módulos já deram diferentes sabemos que (a) não forma um triângulo equilátero. é claro que a alternativa (d) também não forma pois temos três pontos iguais e portanto eles não formam um triângulo, mas se testarmos os valores da alternativa (e) temos
AB = (8,0) - (2,0) = (6,0)
BC = (5,√(27)) - (8,0) = (-3,√(27))
CA = (2,0) - (5,√(27)) = (-3,√(27))
Agora calculando seu módulo temos
|AB| = |(6,0)| = √(6² + 0²) = √(36) = 6
|BC| = |(-3,√(27))| = √((-3)² + √(27)²) = √(36) = 6
|CA| = |(-3,√(27))| = √((-3)² + √(27)²) = √(36) = 6
Portanto esse triângulo tem três lados iguais e é equilátero.
