Números complexos e uma aplicação
Wesley V.
em 15 de Junho de 2020

Não é de hoje, que ao entrar em qualquer sala de aula, ouvimos aquela pergunta: Mas professor aonde uso isso? 
Alguns conteúdos têm aplicações mais diretas que outros, mas isso não tira sua beleza! 

Ao estudar números complexos. me deparei com o seguinte problema que serve para mostrar uma aplicação desse conteúdo.
Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. 

Começando na árvore, medem o número de passos até a primeira pedra. Em seguida, "dobram", seguindo um angulo de 90º, à direita e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca.

Voltam a árvore, medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra, "dobram" á esquerda, segundo um angulo de 90°, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca.
Finalmente enterram o tesouro no ponto médio das duas marcas. 

Anos mais tarde, os dois voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas constatam que a árvore não existe mais. 

Como achar o tesouro? 

Para resolver esse problema, suponha que a árvore estivesse em qualquer ponto da ilha. 

Se repetirmos os mesmos procedimentos, que tínhamos feito na primeira vez que estivemos na ilha, vamos achar o ponto onde o tesouro está enterrado. Mas por quê?  

Observe os números complexos e encontrará sua resposta.

Quando estudamos os números complexos, vemos que eles seguem dois fatos fundamentais:

  • A diferença entre 2 complexos traduz um vetor com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo, o que se representa por AB=B-A 
  • Multiplicar o número complexo pelo número i é o mesmo que girar um ângulo reto positivo.

Olhe para a representação geométrica desse problema 

 https://www.geogebra.org/m/ejqrn7ce

  • Sendo A á arvore 
  • P e Q as pedras 
  • O tesouro está no ponto T 

Como T é o ponto médio entre C e D, temos  T=\frac{C+D}{2}

Observe que o vetor \overline{PC} é obtido pela rotação do vetor \overline{PA}. Esta rotação é de 90°.

Logo, PC=i\cdot (PA)

C-P=i\cdot (A-P)

C=P+i\cdot (A-P)

Analogamente, vamos obter o ponto D, da forma:

D=Q-i\cdot (A-Q)

Segue então que T=\frac{D+C}{2}

T=\frac{Q-i\cdot (A-Q)+P+i\cdot (A-P)}{2}

T=\frac {P+Q}{2}+\frac {Q-P}{2}\cdot i

Moral da História: 

As coordenadas de A não vão fazer diferença, porque as coordenadas de T só dependem de P e Q.

 

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