Números complexos e uma aplicação

Não é de hoje, que ao entrar em qualquer sala de aula, ouvimos aquela pergunta: Mas professor aonde uso isso? 
Alguns conteúdos têm aplicações mais diretas que outros, mas isso não tira sua beleza! 

Ao estudar números complexos. me deparei com o seguinte problema que serve para mostrar uma aplicação desse conteúdo.
Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. 

Começando na árvore, medem o número de passos até a primeira pedra. Em seguida, "dobram", seguindo um angulo de 90º, à direita e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca.

Voltam a árvore, medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra, "dobram" á esquerda, segundo um angulo de 90°, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca.
Finalmente enterram o tesouro no ponto médio das duas marcas. 

Anos mais tarde, os dois voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas constatam que a árvore não existe mais. 

Como achar o tesouro? 

Para resolver esse problema, suponha que a árvore estivesse em qualquer ponto da ilha. 

Se repetirmos os mesmos procedimentos, que tínhamos feito na primeira vez que estivemos na ilha, vamos achar o ponto onde o tesouro está enterrado. Mas por quê?  

Observe os números complexos e encontrará sua resposta.

Quando estudamos os números complexos, vemos que eles seguem dois fatos fundamentais:

• A diferença entre 2 complexos traduz um vetor com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo, o que se representa por  
• Multiplicar o número complexo pelo número  é o mesmo que girar um ângulo reto positivo.

Olhe para a representação geométrica desse problema 

 https://www.geogebra.org/m/ejqrn7ce

• Sendo A á arvore 
• P e Q as pedras 
• O tesouro está no ponto T 

Como T é o ponto médio entre C e D, temos 

Observe que o vetor  é obtido pela rotação do vetor . Esta rotação é de 90°.

Logo, 

Analogamente, vamos obter o ponto D, da forma:

Segue então que 

Moral da História: 

As coordenadas de A não vão fazer diferença, porque as coordenadas de T só dependem de P e Q.