Probabilidade 1

Matemática Probabilidade Conjuntos Ensino Médio

Espaço amostral (denotado S, Ω) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.

Exemplos:

1) Lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, o espaço amostral é o conjunto $\{cara, coroa\}$ .

2) Para o lançamento de um dado de seis faces, o espaço amostral é $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Eventos: São subconjuntos de S. É um conjunto de resultados ao qual é associada uma probabilidade

Eventos compostos de um único elemento são chamados eventos elementares.

Imaginemos S = {s1, s2, s3} , Quantos subconjuntos diferentes têm S?

Podemos pegar os subconjuntos: {∅;{s1};{s2};{s3};{s1,s2};{s1;s3};{s2,s3};{s1,s2,s3}}

Nota-se que há 2³ subconjuntos diferentes de S, ou 8 subconjuntos diferentes de S.

Em cada evento, pode ou não haver cada um dos 3 elementos. Se não houver nenhum elemento, temos ∅.
Se houver o s1, mas não houver s2 nem s3, temos {s1}.
Se houver o s1 e s2, mas não houver s3, temos {s1,s2}.

E assim por diante...
Ou seja:

S1	S2	S3	Subconjunto
0	0	0	∅
1	0	0	{s1}
0	1	0	{s2}
0	0	1	{s3}
1	1	0	{s1,s2}
1	0	1	{s1;s3}
0	1	1	{s2,s3}
1	1	1	{s1,s2,s3}

Considere '0' como não havendo o elemento no subconjunto e '1' como havendo o elemento no subconjunto.

Classe: é o conjunto de todos os subconjuntos denotado por 2^S.

Exemplo: Lançamento de uma moeda:
S = {cara, coroa} => 2^S= {∅;{cara};{coroa};{cara,coroa}}
Observe que neste caso o número total de eventos do espaço amostral é 2² = 4.

Chamamos o conjunto de todos os subconjuntos de Classe. 2^Sé uma classe.

Axiomas de probabilidades:

1) P(S) = 1 . Ou seja, a probabilidade de acontecer qualquer coisa que está dentro de todo o espaço amostral é igual a 1 ou 100%.
2) P(A) ≥ 0 ∀ A ∈ ℑ. Ou seja, a probabilidade de acontecer algo é maio do qe zero.
3) Se A1, A2, A3,... ∈ ℑ e são disjuntos então a probabilidade de acontecer a união: P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+...

Conjuntos disjuntos: São aqueles que não possuem nenhuma intersecção.

Se A e B são disjuntos, A∩B=∅ e P(A∩B) = 0

Exemplo: Haverá o nascimento de um bebê. 50% de chance de ser do sexo feminino e 50% masculino. Existe a chance de o bebê ser feminino e masculino ao mesmo tempo?
Não existe, então o conjunto feminino e o conjunto masculino são disjuntos, e a chance de uma pessoa ser homem e mulher ao mesmo tempo é zero.

Conjuntos independentes: São aqueles que, como o próprio nome já diz, não dependem um do outro.

Se A e B são independentes, P(A).P(B) = P(A∩B)

Exemplo: Jogo uma moeda e depois jogo outra moeda. Estes dois eventos são intependentes, eu jogar uma moeda não afeta nada no resultado da outra.
A probabilidade de eu obter uma cara seguida da outra é: P(cara).P(cara) = 0,5 . 0,5 = 0,25 ou 25%