Probabilidade 2 exemplos

Imagine estar em uma festa onde há três tipos de bolo: Chocolate, Fubá, e Cenoura. E os convidados podem pegar pedações pequenos, médios ou grandes.
E de acordo com uma pesquisa qualquer (isenta de verdade) é dada as seguintes probabilidades de uma pessoa pegar certo tipo de pedaço de bolo. 

Note que a soma de todas as probabilidades é 1, ou seja, 100% de ocorrer algo que está dentro do espaço amostral.

1) Qual a probabilidade de uma pessoa pegar um pedaço de bolo de Cenoura E desse pedaço ser pequeno?

A própria tabela nos fornece o valor desse resultado. Denotamos P(Ce e Peq) = 0,1 = 10%

2) Qual a probabilidade de uma pessoa pegar um pedaço de bolo de Cenoura?

Ora, somamos as probabilidades da terceira coluna: P(Ce) = 0,1 + 0,1 + 0,05 = 0,25 ou 25%. Ou seja, estamos somando as probabilidades de o pedaço ser Pequeno de Cenoura, Médio de Cenoura e Grande de Cenoura. O resultado desta soma nos dará a probabilidade de o bolo ser pequeno, médio ou grande, mas sempre de cenoura, enfim, a probabilidade de o bolo ser de cenoura.
Note que P(Ce) = P(Ce e Peq) + P(Ce e Méd) + P(Ce e Grande) = 0,1 + 0,1 + 0,05.
Pudemos somar essas probabilidades pois os conjuntos são disjuntos, ou seja, não tem como ao mesmo tempo o pedaço ser "De Cenoura e pequeno" e "De Cenoura e médio"

3) Qual a probabilidade de uma pessoa pegar um pedaço médio de bolo?

Analogamente ao exercício 2, P(Méd) = 0,1 + 0,05 + 0,05 = 0,2 = 20%

4) Qual a probabilidade de uma pessa pegar um bolo que seja de Cenoura OU um pedaço médio de bolo?

Lógicamente devemos somar na tabela os valores que estão em vermelho:

Ou seja, temos que a resposta é P(Ce ou Méd) = 0,4 = 40%

Observe que se somarmos P(Ce) e P(Méd) temos: P(Ce) + P(Med) = 0,25 + 0,25 = 0,5 = 50%. ISTO É DIFERENTE DE P(Ce ou Méd).
Por que? 
Neste caso, não podemos somar as probabilidades para achar a probabilidade desta união, pois os conjuntos não são mais disjuntos. 
Eles não são mais disjuntos porque posso ter ao mesmo tempo um pedaço de Bolo de Cenoura, e um pedaço de Bolo Médio, sendo este um Pedaço de Bolo de Cenoura e Médio.
Ao somarmos estamos considerando P(Ce e Peq) + P(Ce e Méd) + P(Ce e Grande) + P (Choc e Méd) + P(Fubá e Méd) + P(Ce e Méd).
Deu pra ver que somamos duas vezes a mesma probabilidade que é a probabilidade de pegarmos um pedaço de bolo de Cenoura e Pequeno P(Ce e Peq) ?
Assim devemos subtrair uma vez para que no total tenhamos apenas um fator deste na soma total.

Ou seja: P(Ce ou Méd) = P(Ce) + P(Méd) - P(Ce e Méd) = 0,25 + 0,25 - 0,1 = 0,4 = 40%. E agora sim chegamos ao valor correto como visto pela tabela a priori.

Note:
'e' <-> ∩
'ou' <-> U

Em geral, podemos dizer que:

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Para três conjuntos:
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

E assim por diante... (ao subtrairmos P(A∩B) precisamos somar de novo P(A∩B∩C) etc...)

5) Qual a probabilidade de pegarmos um pedaço de bolo Médio, dado que ele é de Cenoura?

Queremos saber a chance que temos depegar um bolo de Cenoura e Médio, sabendo que o bolo é de Cenoura.
Pela tabela, podemos concluir logicamente que tenho 10%(cenoura e médio) de chance dentro de 25%(soma de todos os tipos de pedaçoes de cenoura) do espaço amostral.
Ou seja, a probabilidade de pegarmos um bolo de Cenoura Médio, sabendo que o bolo é de Cenoura, é de 0,1/0,25 = 0,4 = 40%.

P(Médio tal que é de Cenoura) = P(Méd e Ce)/P(Ce)  =  0,1/0,25 = 0,4 = 40%.

De modo geral:

Probabilidade Condicional

 Note:
'|' <-> 'Tal que'

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)