Por: Marcos F. 28 de Março de 2016
Algarismos Significativos - um outro olhar
Física EM Medidas Algarismos significativos
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Caro aluno e aluna.
Tenho me deparado com várias pessoas com dúvidas no assunto de algarismos significativos, arrendondamentos e truncamento em operações matemáticas utilizadas em Física e Química. Então resolvi preparar este material:
Vamos imaginar que temos um instrumento capaz de medira pressão de 0,000 até 9,999 atm.
Suponha que coletem-se 4 medidas de pressão e que primeiramente queira obter-se a média aritmética. O cálculo desta medida envolve 4 operações de soma e uma divisão por 4.
Suponha que a primieira medida seja na realidade de 3,5329 atm. Assim, O medidor apontaria 3,533, pois 3,5329 é mais próximo de 3,533 do que de 3,532.
Desta forma, o erro da 1a medida é de -0,0001.
Para as demais medidas, o erro tem os seguintes valores possíveis :
Valores das verdadeiras leituras se o instrumento ganhasse 1 casa de precisão - em torno de 3,532. Na 1a coluna os valores possíveis da leitura R, na 2a coluna a leitura no instrumento realmente disponível M e na 3a coluna, o erro E.
R M E
3,5320 3,532 0,0000
3,5321 3,532 0,0001
3,5322 3,532 0,0002
3,5323 3,532 0,0003
3,5324 3,532 0,0004
3,5325 3,533 -0,0005
3,5326 3,533 -0,0004
3,5327 3,533 -0,0003
3,5328 3,533 -0,0002
3,5329 3,533 -0,0001
Assim o erro de medição "E" é equiprovável e vai de -0,0005 a 0,0004 .
Pode-se demonstrar que a soma dos erros é uma distribuição de média 0 e desvio padrão proximo a 0,00017/raiz(n), onde "n" é o número de medidas. Assim se "n" é muito grande, os erros se compensam e o erro da Média tende a 0.
No caso de operações de multiplicação e/ ou divisão, considere que o erro de medida, por razões que facilitam os calculos, seja computado assim:
Valor medido M = Valor Real R x (1+ E).
Assim, se M = 3,532 e R = 3,5329, E =-0,0002547.
Suponha que haja 3 operações.
Operação O = M1 . M2 / M3
Assim, substituindo a expressão do erro, terá-s'
O = R1. (1+E1). R2. (1+E2)/[R3/(1+E3!)]
Extraindo-se o logaritmo natural de "O", tem-se ln (O) = lnR1 + ln(1+R2) + lnR2 + ln (1+R2) - lnR3 - ln(1+R3)
Rearranjando tem-se :
O =exp [ ln (R1.R2/R3) + ln [(1+E1). (1+E2)/(1+E3)] .
exp= exponencial com base "e", númerode Euller.
Rearranjando:
O = O real . exp(Erro1.Erro2/Erro3)
Onde O Real é o valor das operações verdadeiras de multiplicação seguidas da divisão e Erro i = 1 + Ei.
Observando-se a expressão acima, pode-se verificar que o erro embutido em operações de multiplicação e/ou divisão cresce exponencialmente, justificando a política de usar o máximo de casas decimais da calculadora, minimizando os Erros E1, E2 e E3, e portanto, minimizando o erro da sequência de operações. Claro que isto também vale para operações de soma e/ou subtração, mas não de maneira crítica para o erro total, pela compensação dos erros.
Bons estudos !
Professor Marcos Fattibene
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Mestrado:
Engenharia de Produção
(Universidade Federal de São Carlos)
Aprenda Matemática, Física, Química
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