O método de completar quadrados

Olá! Neste artigo eu mostrarei uma técnica muito utilizada para simplificar expressões: o método de completar quadrados.

Esse método foi criado pelo matemático italo-francês Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) para simplificar equações de cônicas (elipses, hipérboles e parábolas), mas pode ser aplicado em diversos outros contextos como mostrarei a seguir.

O método

No ensino fundamental aprendemos os seguintes produtos notáveis:

e

que são o quadrado de uma soma e de uma diferença, respectivamente. Observe que  é parte do quadrado da soma , faltando apenas o termo . Se somarmos termo na expressão conseguimos completar o quadrado , mas para isso devemos também subtrarir da experssão para que o seu valor não seja alterado já que . Dessa forma

Analogamente

e transformamos a expressão numa diferença entre dois quadrados.

Simplificação de uma forma quadrática

Uma forma quadrática é uma função da forma

O método de completar quadrados é usado para transformá-la numa expressão da forma

Esta forma de escrita facilita o estudo das propriedades da forma quadrática original.

Exemplo: Simplificar a forma quadrática

Primeiro agrupamos as parcelas que contém :

Em seguida completamos o quadrado:

Escrevemos para ter

Substituindo de volta na expressão de teremos

Desenvolvendo a potência e simplificando obteremos

Repetimos o processo, agora com os termos que contêm ( não dá pois o termo foi cancelado nas contas). Temos

Escrevendo e substituindo na expressão de teremos

que é uma expressão muito mais simples do que a original. Em particular, a cônica

tem a forma reduzida

e representa um hiperboloide de revolução.

Solução de equações quadráticas

Podemos usar o método de completar quadrados para resolver equações do 2º grau sem usar a fórmula de Bhaskara.

Exemplo: Resolver a equação .

Isolamos os termos que contêm no lado esquerdo da igualdade.

Somamos nos dois lados para completar o quadrado no lado esquerdo:

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados teremos

Então

e obteremos as raízes

Cálculo de integrais

Podemos aplicar o método de completar quadrados para calcular primitivas de funções contendo trinômios da forma .

Exemplo: Calcular

Primeiro completamos o quadrado do denominador:

Assim

Efetuando a substituição  teremos que  e , logo

Na primeira integral, se efetuarmos a substituição , teremos que , logo

Já a segunda integral é imediata.

Então

Como e , obteremos finalmente

Referências

WIKIPÉDIA. Joseph-Louis Lagrange. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange. Acessado em: 18 set. 2022.

LIMA, E. L. Álgebra linear. 1 ed. IMPA: Rio de Janeiro, 2014.

N. PISKUNOV. Cálculo diferencial e integral. 7 ed. Porto: Edições Lopes da Silva, 1977 (vol. 1).