Como calcular raiz quadrada PARTE 2

Introdução

Olá! Em uma postagem anterior (que você pode acessar clicando aqui) eu descrevi um método para calcular a raiz quadrada de um número usando somente subtrações. Bom, apesar de aquele método ser simples, ele possui uma grande desvantagem: são necessários, possivelmente, muitos cálculos para descobrir cada casa decimal do resultado. E isso é ruim para fazer uma prova tipo Enem, vestibular ou um concurso público, pois as margens do papel são muito pequenas para escrever as contas. Por isso, neste artigo eu irei explicar outro método (um pouco mais complicado, confesso) para calcular a raiz quadrada de um número qualquer, mas que demanda menos cálculos.

Ficou interessado no método? Então vamos lá!

O método

Vamos calcular . Primeiro dividimos o 529 em blocos de 2 algarismos, da direita para a esquerda, e separamos os blocos por ponto: 5.29. Colocamos este número do lado esquerdo do nosso dispositivo.

No canto superior direito ficará a raiz quadrada, e nas demais posições ficarão os nossos cálculos.

Começamos pelo bloco da esquerda, que no caso é 5. Procuramos o maior número que, elevado ao quadrado, não ultrapasse o 5. No caso é 2, pois  (3 não pode pois ). Então 2 será o primeiro algarismo.

De 5 subtraímos , ficando 1 como resto.

Agora descemos o próximo bloco, o 29, ficando 129, e separamos o último algarismo por um ponto: 12.9.

Agora dobramos o valor da raiz, , e escrevemos no canto inferior direito do dispositivo.

No resto temos 12.9. Dividimos o número que está à esquerda do ponto, 12, pelo valor que acabamos de calcular, 4: . Este provavelmente será o próximo algarismo da raiz. Para descobrir fazemos o seguinte: aquele número que obtivemos dobrando o algarismo da raiz, o 4, escrevemos o 3 do lado direito do 4, ficando 43. Agora multiplicamos este resultado por 3: . E então subtraímos do resto.

Como o resto deu 0, a raiz quadrada de 529 é 23.

Exemplo: Calcular .

Dividimos 2025 em blocos de 2 agarismos: 20.25. Pomos isto em nosso dispositivo:

Procuramos o maior número natural cujo quadrado não ultrapassa 20. Neste caso é 4, e o resto ficará .

Descemos o 25 e separamos o último algarismo por um ponto. 42.5. Também dobramos a raiz: .

Dividimos o número à esquerda do ponto no resto, 42, pelo valor obtido no lado direito do dispositivo, 8: . O quociente obtido, 5, será, provavelmente, o próximo algarismo. Para saber se é, escrevemos o 5 ao lado do 8, ficando 85, e multiplicamos por 5: . Subtraímos este valor do resto.

Como o resto deu 0, a raiz é exata. Portanto .

Exemplo: calcular .

Fazemos aquele mesmo esquema explicado acima: dividimos 36864 em blocos de 2 algarismos, ficando 3.68.64; procuramos o algarismo que, elevado ao quadrado, não passa de 3, que no caso é 1; efetuamos a subtração e descemos o próximo bloco, separando o último algarismo, 26.8. Também dobramos a raiz.

O número a esquerda do ponto, 26, é dividido pelo valor encontrado, 2, obtendo 13. Mas 13 é um número de dois algarismos. Como o maior número de um algarismo é 9, este será o próximo algarismo da raiz.

E aí repetimos todo aquele processo de verificação: escrevemos o algarismo 9 ao lado do valor duplicado encontrado antes, 2, ficando 29, e multiplicamos isto por 9, obtendo 261. Subtraímos isto do resto e obtemos o novo resto, 7. O processo aparece na figura acima.

Agora abaixamos o último bloco, 64, formando 764, e repetimos todo o processo anterior. Separamos o último algarismo, 76.4, e dividimos o número a esquerda do ponto, 76, pelo dobro da raiz, que é , o que dará como quociente 2.

Fazemos as verificações.

Como o resto deu 0, a raiz é exata. Portanto .

Exemplo: calcular .

Note que 2 não dá para dividir por 4 (deveria ser maior para efetuarmos a divisão). Então o algarismo é 0. Escrevemos 0 ao lado do algarismo anterior, o 2, ficando 20, e abaixamos o próximo bloco.

Prosseguimos com o algoritmo normalmente.

O resto é 0, a raiz é exata. Portanto .

Raiz quadrada não exata

Vamos calcular com 3 casas decimais.

Montamos o dispositivo.

Separamos os algarismos em blocos de dois algarismos. Neste caso, a parte inteira ficará 1.51. Já a parte decimal tem um númeri ímpar de algarismos. Basta acrescentar um zero ao lado direito do último algarismo para termos uma quantidade par de algarismos e asim fazer a divisão em blocos. Neste caso ficará 1.51,20. Se fosse, por exemplo, 5341,377, ficaria 53.41,37.70.

Iniciamos o algoritmo com a parte inteira.

Assim a parte inteira será 12. Agora abaixamos o 20 e continuamos o processo.

Perceba o seguinte: Pelas contas o 3 seria o próximo algarismo, mas o valor encontrado foi 729, que é maior do que o resto 720. Então 3 não é o algarismo. Tomamos o anteessor dele, o 2, para ser o próximo algarismo e continuamos as contas normalmente.

Agora não temos mais algarismos para abaixar. Neste caso, acrescentamos 00 ao resto, ficando 23600, e prosseguimos com o algoritmo. Repetimos quantas vezes  quisermos para obter quantas casas decimais desejarmos.

Portanto, .

Referências bibliográficas

IRMÃOS MARISTAS. Elementos de Aritmética - Curso Superior para o Curso colegial e admissão às escolas superiores. São Paulo: Editora do Brasil S.A, (s.d.).

E aí? Gostou deste método? Se sim, dá uma curtida, deixe seu comentário e me siga para mais dicas e macetes de cálculo!